On suppose $n \wedge m = 1$. D'après le théorème de Bézout, il existe $u,v \in \mathbb{Z}$ tels que $nu+mv=1$.

On remarque alors, à partir de cette relation et toujours d'après le théorème de Bézout (la réciproque cette fois), que $n \wedge v = 1$ et $m \wedge u = 1$.


Démontrons le résultat demandé :

• Existence : On pose $x=g^{mv}$ et $y=g^{nu}$. Alors $x$ et $y$ commutent car des composées de $g$ et de son symétrique commutent entre elles et on a :
  \[ xy=g^{mv}g^{nu}=g^{mv+nu}=g. \]
  De plus, on a $x^n=(g^{mv})^n=(g^{nm})^v=e$ et $y^m=(g^{nu})^m=(g^{nm})^u=e$ car $g$ est d'ordre $nm$, donc $x$ et $y$ sont d'ordre finis disons respectivement $p$ et $q$.
  
  D'après ce qui précède, on a $p|n$ et $q|m$. Montrons que $n|p$ et $m|q$.
  
  On a :
  \[ g^{mvp}=x^p=e \]
  et $g$ d'ordre $nm$ donc $nm|mvp$ d'où $n|vp$. Or, d'après la remarque initiale, $n \wedge v = 1$, donc d'après le lemme de Gauss, $n|p$.
  
  Par un raisonnement analogue, on prouve $m|q$.
  
  Ainsi, $n,m,p,q$ étant positifs, on a $p=n$ et $m=q$.
  
  Ce qui démontre l'existence.
  
• Unicité : Soit $(x,y), (z,t) \in G^2$ deux couples ayant les propriétés annoncées.
  Alors, comme $xy=g=zt$, on a $x^{-1}z=yt^{-1}$ et :
  \[ \begin{array}{rcl} x^{-1}z&=&(x^{-1}z)^{nu+mv} \\ &=&(x^{-1}z)^{nu}.(yt^{-1})^{mv} \\ &=&((x^n)^{-1}z^n)^u.(y^m(t^m)^{-1})^{v} \\ &=&(e.e)^u.(e.e)^v \\ x^{-1}z&=&e \end{array} \]
  D'où $e=x^{-1}z=yt^{-1}$ et donc $x=z$ et $y=t$.
  
  Ce qui prouve l'unicité.