Montrer que $G=\{z \in \mathbb{C} \; | \; \exists\; n \in \mathbb{N}^*, z^n=1\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*,\times)$. Quel est son cardinal ? Justifier.

Soit $I=]-1,1[$. On munit $I$ d'une loi $*$ définie, pour tous $x,y \in I$,par $x*y=\frac{x+y}{1+xy}$.

1. Montrer que, pour tous $x,y \in I$, $x*y$ est bien défini. Puis montrer que $*$ est une loi de composition interne sur $I$.
2. Montrer que $(I,*)$ est un groupe commutatif. $[0,1[$ est-il un sous-groupe de $I$ ?
3. Soit $x>0$. Montrer que $H_x=\{\frac{x^n-1}{x^n+1} \; | \; n \in \mathbb{Z}\}$ est un sous-groupe de $I$.

Soit $(G,.)$ un groupe tel que pour tout $g \in G$, $g^2=e$. Montrer que $G$ est un groupe commutatif.