Exercices de la catégorie Congruences
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Congruences : liste des exercices
Exercice #313
Énoncé
Déterminer le reste de la division euclidienne par $5$ de :\[ 2023^{2024}\]
Exercice #317
Énoncé
Résoudre le système d'inconnue $x\in \mathbb{Z}$ :\[\begin{cases} x \;\equiv\; 1 \;[6] \\x \;\equiv\; 4 \;[7]\end{cases}\]
Exercice #318
Énoncé
Résoudre le système d'inconnue $x\in \mathbb{Z}$ :\[\begin{cases} 3x \;\equiv\; 2 \;[5] \\ 5x \;\equiv\; 1 \;[6]\end{cases}\]
Exercice #319
Énoncé
Montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}$,\[13 \;|\; 5^{2k}\times 38 +12^k\]
Exercice #320
Énoncé
Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[6\;|\; n(8n+1)(13n+1)\]
Exercice #321
Énoncé
Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[13\;|\; 7^{2n}-23^n\]
Exercice #326
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $x\in \mathbb{Z}$ :\[ 41x+2 \;\equiv\; 0 \;[152]\]
Exercice #327
Énoncé
Résoudre l'équation $x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }143$.
Correction
On a $143=11\times 13$ et $11$ est premier avec $13$ donc d'après le théorème chinois, $(*) \;x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }143$ si, et seulement si, $$(1)\; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }11 \quad \text{et} \quad (2)\; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }13$$ Donc si $x_1$ est une solution de $(1)$ et $x_2$ une solution de $(2)$, alors $x=x_1u+x_2v$ est solution de $(*)$ où $u,v \in \mathbb{Z}$ sont tels que $11u+13v=1$, et toutes les solutions sont de cette forme.
On a $$ (x+1)x=x^2+x \; \equiv \; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }11 $$ et $$ (x-1)(x+2)=x^2+x-2 \; \equiv \; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }13 $$ Donc les solutions de $(1)$ sont $x \; \equiv \; 0 \text{ mod }11$ et $x \; \equiv \; -1 \text{ mod }11$ et les solutions de $(2)$ sont $x \; \equiv \; 1 \text{ mod }13$ et $x \; \equiv \; -2 \text{ mod }13$.
Déterminons les coefficients $u$ et $v$ : on a $6\times 11-5\times 13=1$, d'où $u=6$ et $v=5$.
Ainsi, on a donc les solutions suivantes : $$ x \; \equiv \; 66 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; 11 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; -12 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; 76 \text{ mod }143 $$
On a $$ (x+1)x=x^2+x \; \equiv \; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }11 $$ et $$ (x-1)(x+2)=x^2+x-2 \; \equiv \; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }13 $$ Donc les solutions de $(1)$ sont $x \; \equiv \; 0 \text{ mod }11$ et $x \; \equiv \; -1 \text{ mod }11$ et les solutions de $(2)$ sont $x \; \equiv \; 1 \text{ mod }13$ et $x \; \equiv \; -2 \text{ mod }13$.
Déterminons les coefficients $u$ et $v$ : on a $6\times 11-5\times 13=1$, d'où $u=6$ et $v=5$.
Ainsi, on a donc les solutions suivantes : $$ x \; \equiv \; 66 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; 11 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; -12 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; 76 \text{ mod }143 $$
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