Exercices de la catégorie Arithmétique
0
Navigation : Mathématiques ⇐ Algèbre ⇐ Arithmétique
Arithmétique : liste des exercices
Exercice #313
Énoncé
Déterminer le reste de la division euclidienne par $5$ de :\[ 2023^{2024}\]
Exercice #317
Énoncé
Résoudre le système d'inconnue $x\in \mathbb{Z}$ :\[\begin{cases} x \;\equiv\; 1 \;[6] \\x \;\equiv\; 4 \;[7]\end{cases}\]
Exercice #318
Énoncé
Résoudre le système d'inconnue $x\in \mathbb{Z}$ :\[\begin{cases} 3x \;\equiv\; 2 \;[5] \\ 5x \;\equiv\; 1 \;[6]\end{cases}\]
Exercice #319
Énoncé
Montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}$,\[13 \;|\; 5^{2k}\times 38 +12^k\]
Exercice #320
Énoncé
Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[6\;|\; n(8n+1)(13n+1)\]
Exercice #321
Énoncé
Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[13\;|\; 7^{2n}-23^n\]
Exercice #326
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $x\in \mathbb{Z}$ :\[ 41x+2 \;\equiv\; 0 \;[152]\]
Exercice #327
Énoncé
Résoudre l'équation $x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }143$.
Correction
On a $143=11\times 13$ et $11$ est premier avec $13$ donc d'après le théorème chinois, $(*) \;x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }143$ si, et seulement si, $$(1)\; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }11 \quad \text{et} \quad (2)\; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }13$$ Donc si $x_1$ est une solution de $(1)$ et $x_2$ une solution de $(2)$, alors $x=x_1u+x_2v$ est solution de $(*)$ où $u,v \in \mathbb{Z}$ sont tels que $11u+13v=1$, et toutes les solutions sont de cette forme.
On a $$ (x+1)x=x^2+x \; \equiv \; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }11 $$ et $$ (x-1)(x+2)=x^2+x-2 \; \equiv \; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }13 $$ Donc les solutions de $(1)$ sont $x \; \equiv \; 0 \text{ mod }11$ et $x \; \equiv \; -1 \text{ mod }11$ et les solutions de $(2)$ sont $x \; \equiv \; 1 \text{ mod }13$ et $x \; \equiv \; -2 \text{ mod }13$.
Déterminons les coefficients $u$ et $v$ : on a $6\times 11-5\times 13=1$, d'où $u=6$ et $v=5$.
Ainsi, on a donc les solutions suivantes : $$ x \; \equiv \; 66 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; 11 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; -12 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; 76 \text{ mod }143 $$
On a $$ (x+1)x=x^2+x \; \equiv \; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }11 $$ et $$ (x-1)(x+2)=x^2+x-2 \; \equiv \; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }13 $$ Donc les solutions de $(1)$ sont $x \; \equiv \; 0 \text{ mod }11$ et $x \; \equiv \; -1 \text{ mod }11$ et les solutions de $(2)$ sont $x \; \equiv \; 1 \text{ mod }13$ et $x \; \equiv \; -2 \text{ mod }13$.
Déterminons les coefficients $u$ et $v$ : on a $6\times 11-5\times 13=1$, d'où $u=6$ et $v=5$.
Ainsi, on a donc les solutions suivantes : $$ x \; \equiv \; 66 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; 11 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; -12 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; 76 \text{ mod }143 $$
Exercice #314
Énoncé
Résoudre le système d'inconnues $x,y$ dans $\mathbb{N}$ :\[\begin{cases} x+y=100 \\ x\wedge y=10\end{cases}\]
Exercice #323
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $n+1$ divise $\dbinom{2n}{n}$.
Exercice #324
Énoncé
Soit $a \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $2a+1$ et $a^2+a$ sont premiers entre eux.
Exercice #322
Énoncé
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. Montrer que si $2^n-1$ est premier, alors $n$ est premier.
Exercice #325
Énoncé
Déterminer toutes les couples $(x,y)$ dans $\mathbb{Z}^2$ solutions de l'équation :\[ 7x-11y = 5\]
Exercice #315
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer qu'on peut trouver $n$ entiers consécutifs de telle sorte qu'aucun d'entre eux n'est premier.
Exercice #316
Énoncé
Soit $p$ un nombre premier plus grand ou égal à $5$. Montrer que $24\;|\;p^2-1$.
Exercice #161
Énoncé
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $F$ suivante :\[F=\frac{X^4+2X^2+1}{X^2-1}.\]
Exercice #458
Énoncé
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $F$ suivante :\[F=\frac{7X^3+12X^2+6X-1}{X^4+X^3-X^2-X}.\]
Exercice #459
Énoncé
Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ la fraction rationnelle $F$ suivante :\[F=\frac{4X^2+3X+2}{X^3+X^2+X}.\]
Exercice #163
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour $k \in \mathbb{N}$, calculer la dérivée $k$-ième de la fraction rationnelle :\[F=\frac{1}{X(X+1)...(X+n)}.\]
Exercice #165
Énoncé
Calculer une primitive sur $]-1,+\infty[$ de $f:t\mapsto \displaystyle\frac{1}{1+t^3}$.
Exercice #419
Énoncé
Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ un polynôme scindé à racines simples dans $\mathbb{R}$.
- Montrer que $P'$ est scindé à racines simples dans $\mathbb{R}$.
- Montrer que le polynôme $P^2+1$ est scindé dans à racines simples dans $\mathbb{C}$.
Exercice #147
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $P \in \mathbb{K}[X]$ où $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ :\[ P(X^2)=(X^2+1)P(X).\]
Exercice #441
Énoncé
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ où :\[ A=X^4+X^3+3X^2+5X+1 \text{ et }B=X^2+2\]
Exercice #442
Énoncé
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ où :\[ A=2X^5+4X^4+5X^2+2X+1 \text{ et }B=X^2+2X-1\]
Exercice #148
Énoncé
Soit $a,b \in \mathbb{N}^*$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^a$ par $X^b-1$.
Exercice #154
Énoncé
Déterminer le PGCD de $P$ et $Q$ où $P(X)=X^3-X^2-X-2$ et $Q(X)=X^5-2X^4+X^2-X-2$.
Exercice #152
Énoncé
Soient $n,m\in \mathbb{N}^*$. Déterminer le PGCD de $X^n-1$ et $X^m-1$.
Exercice #155
Énoncé
Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ :\[ X^4+1\]
Exercice #157
Énoncé
Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ :\[ X^{12}-1.\]
Exercice #158
Énoncé
Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ :\[X^6+1.\]
Exercice #156
Énoncé
Montrer que le polynôme $P$ est à coefficients dans $\mathbb{R}[X]$ puis le factoriser en produit de polynômes irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$ où :\[ P(X)=-i\left((X+i)^n-(X-i)^n\right).\]
Exercice #159
Énoncé
Déterminer un polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré inférieur ou égal à $3$ tel que :\[P(0)=1;\quad P(1)=0;\quad P(-1)=-2; \quad P(2)=4.\]
Classexo 2024 || Contacts || Conseils d'utilisation