Exercices de la catégorie Arithmétique des polynômes
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Arithmétique des polynômes : liste des exercices
Exercice #161
Énoncé
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $F$ suivante :\[F=\frac{X^4+2X^2+1}{X^2-1}.\]
Exercice #458
Énoncé
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $F$ suivante :\[F=\frac{7X^3+12X^2+6X-1}{X^4+X^3-X^2-X}.\]
Exercice #459
Énoncé
Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ la fraction rationnelle $F$ suivante :\[F=\frac{4X^2+3X+2}{X^3+X^2+X}.\]
Exercice #163
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour $k \in \mathbb{N}$, calculer la dérivée $k$-ième de la fraction rationnelle :\[F=\frac{1}{X(X+1)...(X+n)}.\]
Exercice #165
Énoncé
Calculer une primitive sur $]-1,+\infty[$ de $f:t\mapsto \displaystyle\frac{1}{1+t^3}$.
Exercice #419
Énoncé
Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ un polynôme scindé à racines simples dans $\mathbb{R}$.
- Montrer que $P'$ est scindé à racines simples dans $\mathbb{R}$.
- Montrer que le polynôme $P^2+1$ est scindé dans à racines simples dans $\mathbb{C}$.
Exercice #147
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $P \in \mathbb{K}[X]$ où $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ :\[ P(X^2)=(X^2+1)P(X).\]
Exercice #441
Énoncé
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ où :\[ A=X^4+X^3+3X^2+5X+1 \text{ et }B=X^2+2\]
Exercice #442
Énoncé
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ où :\[ A=2X^5+4X^4+5X^2+2X+1 \text{ et }B=X^2+2X-1\]
Exercice #148
Énoncé
Soit $a,b \in \mathbb{N}^*$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^a$ par $X^b-1$.
Exercice #154
Énoncé
Déterminer le PGCD de $P$ et $Q$ où $P(X)=X^3-X^2-X-2$ et $Q(X)=X^5-2X^4+X^2-X-2$.
Exercice #152
Énoncé
Soient $n,m\in \mathbb{N}^*$. Déterminer le PGCD de $X^n-1$ et $X^m-1$.
Exercice #155
Énoncé
Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ :\[ X^4+1\]
Exercice #157
Énoncé
Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ :\[ X^{12}-1.\]
Exercice #158
Énoncé
Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ :\[X^6+1.\]
Exercice #156
Énoncé
Montrer que le polynôme $P$ est à coefficients dans $\mathbb{R}[X]$ puis le factoriser en produit de polynômes irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$ où :\[ P(X)=-i\left((X+i)^n-(X-i)^n\right).\]
Exercice #159
Énoncé
Déterminer un polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré inférieur ou égal à $3$ tel que :\[P(0)=1;\quad P(1)=0;\quad P(-1)=-2; \quad P(2)=4.\]
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