Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $F$ suivante :\[F=\frac{X^4+2X^2+1}{X^2-1}.\]

Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $F$ suivante :\[F=\frac{7X^3+12X^2+6X-1}{X^4+X^3-X^2-X}.\]

Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ la fraction rationnelle $F$ suivante :\[F=\frac{4X^2+3X+2}{X^3+X^2+X}.\]

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour $k \in \mathbb{N}$, calculer la dérivée $k$-ième de la fraction rationnelle :\[F=\frac{1}{X(X+1)...(X+n)}.\]

Calculer une primitive sur $]-1,+\infty[$ de $f:t\mapsto \displaystyle\frac{1}{1+t^3}$.