On considère la matrice suivante :\[ A=\begin{pmatrix} 3&3 \\ 0&3 \end{pmatrix}.\]Montrer que $A$ est inversible puis calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{Z}$.

Montrer que la matrice $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[ A=\begin{pmatrix} -1&1&-1 \\ 1&2&0 \\ 2&2&1 \end{pmatrix}.\]

Trouver toutes les matrices colonnes $X \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ telle que $AX=2X$, où :\[ A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ -2&1&1 \\ -4&-2&4 \end{pmatrix}.\]De même pour $AX=X$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A,B,C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ des matrices non nulles telles que $ABC=O_n$. Montrer qu'au moins deux matrices parmi $A,B,C$ ne sont pas inversibles.

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit une matrice symétrique.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}1 &... & ... &1 \\0 &\ddots& &\vdots \\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\0 &... &0 &1\end{pmatrix}\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

1. Montrer que $A$ est inversible puis déterminer son inverse.
2. Déterminer $A^{-k}$ pour $k \in \mathbb{N}$.
3. Conjecturer la valeur des coefficients de $A^{k}$ pour $k \in \mathbb{N}$ puis démontrer cette conjecture.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que la matrice $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 & ... &n \\0 &\ddots&\ddots&\ddots&\vdots \\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&3 \\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&2 \\0 &... &... &0 &1\end{pmatrix}\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).\]