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Exercices de la catégorie Algèbre linéaire
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Algèbre linéaire : liste des exercices
Exercice #70
Exercice de base
Détails de l'exercice #70
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} 2x&-&y&+&z&=&3 \\ x&+&y&+&z&=&6 \\ -x&+&2y&-&z&=&0 \\ \end{array}\right.\]
Exercice #167
Exercice de base
Détails de l'exercice #167
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} 2x&+&y&+&z&=&0 \\ x&&&+&z&=&0 \\ &&y&+&z&=&0 \end{array}\right.\]
Exercice #168
Exercice de base
Détails de l'exercice #168
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x&+&2y&+&2z&=&0 \\ 2x&-&y&+&2z&=&0 \\ -x&+&3y&&&=&0 \end{array}\right.\]
Exercice #169
Exercice de base
Détails de l'exercice #169
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} 2x&+&y&-&z&=&1 \\ 4x&+&y&-&2z&=&3 \\ 2x&&&-&z&=&2 \end{array}\right.\]
Exercice #170
Exercice de base
Détails de l'exercice #170
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} 2x&+&y&+&z&+&t&=&0 \\ 4x&-&y&+&z&-&t&=&0 \\ 6x&&&+&2z&&&=&0 \\ 2x&-&2y&&&-&2t&=&0 \end{array}\right.\]
Exercice #171
Exercice de base
Détails de l'exercice #171
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} x&+&y&+&z&+&t&=&10 \\ x&-&y&+&z&-&t&=&-2 \\ 2x&-&y&&&+&t&=&4 \\ 3x&-&2y&-&z&+&t&=&0 \end{array}\right.\]
Exercice #172
Exercice de base
Détails de l'exercice #172
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} x&+&y&+&z&+&t&=&0 \\ x&-&y&+&z&-&t&=&0 \\ 2x&+&2y&-&z&+&2t&=&0 \end{array}\right.\]
Exercice #177
Exercice de base
Détails de l'exercice #177
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{C}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} ix&+&(1-i)y&+&iz&=&2 \\ (1+i)x&-&iy&+&z&=&i \\ (1-i)x&+&y&+&(1-i)z&=&1+i \end{array}\right.\]
Exercice #178
Exercice de base
Détails de l'exercice #178
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{C}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} e^{i\frac{\pi}{6}}x&+&e^{-i\frac{\pi}{6}}y&+&z&=&2i \\ e^{i\frac{\pi}{3}}x&-&e^{-i\frac{\pi}{3}}y&+&iz&=&0 \\ ix&+&e^{-i\frac{\pi}{6}}y&+&e^{i\frac{\pi}{3}}z&=&i \end{array}\right.\]
Exercice #176
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #176
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On pose $j=e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
Montrer que le système linéaire suivant admet une unique solution $(x,y,z) \in \mathbb{C}^3$ vérifiant $x=\alpha(1-j)$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$ à déterminer :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x&+&jy&+&j^2z&=&0 \\ jx&+&y&+&j^2z&=&-j \\ j^2x&+&j^2y&+&z&=&j^2 \end{array}\right.\]
Exercice #74
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #74
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ selon la valeur du paramètre $m \in \mathbb{R}$:\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x&+&my&-&z&=&2 \\ x&+&2my&-&3z&=&0 \\ -2x&&&+&mz&=&-6 \\ \end{array}\right.\]
Exercice #175
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #175
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$, en fonction du paramètre $m \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x&+&my&+&m^2z&=&0 \\ mx&+&y&+&mz&=&0 \\ mx&+&m^2y&+&z&=&0 \end{array}\right.\]
Exercice #201
Exercice de base
Détails de l'exercice #201
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -1&-3&3 \\ 0&2&0 \\ 3&3&-1 \end{pmatrix}$
  1. Déduire du calcul de $A^2$ un polynôme annulateur de $A$. Est-ce le polynôme minimal de $A$ ?
  2. Montrer que $A$ est inversible en exhibant son inverse.
  3. Calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.
Exercice #199
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #199
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 4&6&3 \\ -2&-3&-2 \\ 1&2&2 \end{pmatrix}$
  1. Déduire du calcul de $A^2$ un polynôme annulateur de $A$. Est-ce le polynôme minimal de $A$ ?
  2. Montrer que $A$ est inversible en exhibant son inverse.
  3. Calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.
Exercice #269
Exercice de base
Détails de l'exercice #269
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.
Exercice #270
Exercice de base
Détails de l'exercice #270
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -6&4&4 \\ -4&2&4 \\ -4&4&2 \end{pmatrix}$Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.
Exercice #271
Exercice de base
Détails de l'exercice #271
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -3&2&3 \\ 2&-2&2 \\ -7&6&3 \end{pmatrix}$Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.
Exercice #272
Exercice de base
Détails de l'exercice #272
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 1&1&-1 \\ 2&0&-3 \\ -1&1&1 \end{pmatrix}$Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$ vue comme appartenant à $M_3(\mathbb{R})$ puis à $M_3(\mathbb{C})$.
Exercice #273
Exercice de base
Détails de l'exercice #273
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -1+2i&1&1-2i \\ 2i&0&-1-2i \\ -1&1&1 \end{pmatrix}$Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.
Exercice #265
Exercice de base
Détails de l'exercice #265
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On considère $E=\{u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \; | \; \lim u = 0\}$. On note $\varphi$ l'application définie, pour $u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in E$, par $\varphi(u)=(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où, pour $n \in \mathbb{N}$ :\[ v_n=u_{n+1}-u_n.\]
  1. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.
  2. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $\varphi$.
Exercice #266
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #266
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soirt $E=C([0,1],\mathbb{R})$. On définie, pour $f \in E$, la fonction $\varphi(f):[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ par :\[ \varphi(f)(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{x}\int_0^x f(t)\text{d}t & \text{ si }x \in ]0,1] \\ \\ f(0)&\text{ sinon.} \end{cases}\]
  1. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.
  2. Déterminer les valeurs propres de $\varphi$.
Exercice #267
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #267
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $A_n=(a_{ij})_{1\leqslant i,j \leqslant n } \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice telle que, pour $i,j \in \;[\!\!\![\; 1,n\;]\!\!\!]\;$ :\[ a_{i,j}=\begin{cases} 1&\text{ si }i=j+1\text{ ou }j=i+1 \\ 0&\text{ sinon } \end{cases}\]et on note $\chi_n$ le polynôme caractéristique de $A_n$ i.e. $\chi_n(X)=\text{det}(XI_n-A_n)$.
  1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que, pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, \[ \chi_{n+2}(\lambda)=\lambda \chi_{n+1}(\lambda)-\chi_n(\lambda) \]
  2. On pose, pour $\theta \in ]0,\pi[$, $\lambda=2\cos(\theta)$. Montrer que \[ \chi_n(\lambda)=\frac{\sin\left((n+1)\theta\right)}{\sin(\theta)} \]
  3. En déduire le spectre de $A_n$ puis que $A_n$ est diagonalisable.
Exercice #268
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #268
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit un entier $n \geqslant 2$ et $f$ un endorphisme de $\mathbb{R}^n$ tel que $\text{rg}(f)=2$. Exprimer le polynôme caractéristique de $f$ en fonction de $\text{Tr}(f)$ et $\text{Tr}(f^2)$.
Exercice #295
Exercice de base
Détails de l'exercice #295
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.
Exercice #296
Exercice de base
Détails de l'exercice #296
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 1&-1&3 \\ -2&2&3 \\ 2&1&0 \end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.
Exercice #297
Exercice de base
Détails de l'exercice #297
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 4&-1&-3 \\ 1&2&-3 \\ -1&1&6 \end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.
Exercice #298
Exercice de base
Détails de l'exercice #298
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ 6&-5&2 \\ -3&1&-4 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #299
Exercice de base
Détails de l'exercice #299
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 3&-4&-5 \\ 6&-8&-6 \\ -7&8&5 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #300
Exercice de base
Détails de l'exercice #300
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \\ 1&0&1 \\ 1&-1&0 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #301
Exercice de base
Détails de l'exercice #301
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 4&1&0 \\ 0&2&-1 \\ 1&1&3 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #302
Exercice de base
Détails de l'exercice #302
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $A=\begin{pmatrix} 1+a&1+a&1 \\ -a&-a&-1 \\ a&a-1&0 \end{pmatrix}$.
  1. Pour quelles valeurs de $a$ la matrice $A$ est-elle trigonalisable ? diagonalisable ?
  2. Effectuer la trigonalisation/diagonalisation selon les valeurs de $a$ déterminée à la question précédente.
Exercice #303
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #303
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$ et $x,y \in \mathbb{C}^*$ tels que $y\neq \pm x$. On considère la matrice : \[ A=\begin{pmatrix}x & y& x& \dots &y &x &y \\y & x&y & \dots & x& y&x \\x & y&x & \dots &y &x &y \\\vdots&\vdots&\vdots& \ddots &\vdots&\vdots&\vdots \\y & x& y& \dots &x &y &x \\x & y&x & \dots &y &x &y \\y & x&y & \dots &x &y &x \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C}). \]Montrer que $A$ est diagonalisable.
Exercice #304
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #304
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $E$ une espace vectoriel de dimension $n$ sur $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ de rang $1$. Montrer que $u$ est diagonalisable si, et seulement si, $\text{Tr}(u)\neq 0$.
Exercice #328
Exercice de base
Détails de l'exercice #328
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$.
Exercice #329
Exercice de base
Détails de l'exercice #329
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} 4&-1&-3 \\ 1&2&-3 \\ -1&1&6 \end{pmatrix}$.
Exercice #330
Exercice de base
Détails de l'exercice #330
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ 6&-5&2 \\ -3&1&-4 \end{pmatrix}$.
Exercice #309
Exercice de base
Détails de l'exercice #309
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Déterminer toutes les matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que :\[ \begin{cases} \text{Tr}(A)=0 \\ A^3-6A^2+9A=0_n \end{cases}\]
Exercice #311
Exercice de base
Détails de l'exercice #311
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A \in \mathcal{M}(\mathbb{K})$ telle que $A^2$ est diagonalisable.
  1. Si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ et $A$ inversible; montrer que $A$ est diagonalisable.
  2. Si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ et $A$ non inversible, $A$ est-elle diagonalisable ?
  3. Si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ et $A$ inversible, $A$ est-elle diagonalisable ?
Exercice #312
Exercice de base
Détails de l'exercice #312
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de rang $1$. Montrer que $u$ est diagonalisable si, et seulement si, $\text{Im}(u) \not \subset \text{Ker}(u)$.
Exercice #310
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #310
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $A,N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telles que $N$ est nilpotente et $A,N$ commutent. Montrer que :\[ \text{det}(A+N)=\text{det}(A)\]On pourra commencer par étudier le cas $A \in \text{GL}_n(\mathbb{K})$.
Exercice #264
Exercice de base
Détails de l'exercice #264
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $f,p \in \mathcal{L}(E)$ avec $p$ projecteur. Montrer que $f$ et $p$ communtent si, et seulement si, $\text{Ker}(p)$ et $\text{Im}(p)$ sont stables par $f$.
Exercice #263
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #263
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On considère l'endomorphisme $\Delta: \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R}[X]$ tel que, pour $P \in \mathbb{R}[X]$, $\Delta(P)=P'$. Montrer qu'il n'existe par d'endomorphisme $\delta$ de $\mathbb{R}[X]$ tel que $\delta^2=\Delta$.
Exercice #391
Exercice de base
Détails de l'exercice #391
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On considère la matrice suivante :\[ A=\begin{pmatrix} 3&3 \\ 0&3 \end{pmatrix}.\]Montrer que $A$ est inversible puis calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{Z}$.
Exercice #392
Exercice de base
Détails de l'exercice #392
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Montrer que la matrice $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[ A=\begin{pmatrix} -1&1&-1 \\ 1&2&0 \\ 2&2&1 \end{pmatrix}.\]
Exercice #393
Exercice de base
Détails de l'exercice #393
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Trouver toutes les matrices colonnes $X \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ telle que $AX=2X$, où :\[ A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ -2&1&1 \\ -4&-2&4 \end{pmatrix}.\]De même pour $AX=X$.
Exercice #395
Exercice de base
Détails de l'exercice #395
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A,B,C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ des matrices non nulles telles que $ABC=O_n$. Montrer qu'au moins deux matrices parmi $A,B,C$ ne sont pas inversibles.
Exercice #398
Exercice de base
Détails de l'exercice #398
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit une matrice symétrique.
Exercice #394
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #394
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}1 &... & ... &1 \\0 &\ddots& &\vdots \\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\0 &... &0 &1\end{pmatrix}\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
  1. Montrer que $A$ est inversible puis déterminer son inverse.
  2. Déterminer $A^{-k}$ pour $k \in \mathbb{N}$.
  3. Conjecturer la valeur des coefficients de $A^{k}$ pour $k \in \mathbb{N}$ puis démontrer cette conjecture.
Exercice #397
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #397
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que la matrice $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 & ... &n \\0 &\ddots&\ddots&\ddots&\vdots \\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&3 \\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&2 \\0 &... &... &0 &1\end{pmatrix}\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).\]
Exercice #4 Forme linéaire et fonctions affines
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #4
Exercice enregistré par M. Arnt
Source : M. Arnt
Énoncé
Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$. On pose $\varphi:E\rightarrow \mathbb{R}$ telle que, pour tout $f\in E$ :\[\varphi(f)=\int_0^1f(t) dt;\]et on note $F=\{f \in E \; | \; f \text{ est affine }\}$ (on rappelle qu'une fonction $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est affine s'il existe $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $f:t\mapsto at+b$).
  1. Montrer que $\varphi$ est une application linéaire surjective.
  2. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  3. Montrer qu'il existe $c \in [0,1]$ tel que $F\cap \text{Ker}(\varphi)=\{f \in F \; | \; f(c)=0\}$.
Indications
  1. Pour la linéarité, utiliser la linéarité de l'intégrale.
    Pour la surjectivité, que sait-on d'une forme linéaire non nulle ?
  2. Utiliser la définition/caractérisation des sous-espaces vectoriels;
    ou bien montrer que $F$ est le sous-espace engendré par plusieurs fonctions de $E$ bien choisies.
  3. Dessiner des graphes de fonctions affines d'intégrale nulle sur $[0,1]$.
Correction
  1. Soit $f,g \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. On a, par linéarité de l'intégrale : \[ \begin{array}{rcl} \varphi(\lambda f+g) &=& \displaystyle\int_0^1 (\lambda f+g)(t) dt

    \\ &=& \displaystyle \int_0^1 (\lambda f(t)+g(t)) dt

    \\ &=& \displaystyle \lambda\int_0^1f(t) dt + \int_0^1g(t) dt

    \\ \varphi(\lambda f+g) &=& \lambda\varphi(f)+\varphi(g). \end{array} \] Donc $\varphi$ est linéaire.
    Il s'agit donc d'une forme linéaire sur $E$; or $\varphi(f_0)=1\neq 0$ pour $f_0:x \mapsto 1$, par suite, $\varphi$ est surjective car toute forme linéaire non nulle est surjective.
    • 1ère façon : caractérisation d'un sous-espace vectoriel.
      Le vecteur nul de $E$ est la fonction nulle $\mathbf{0}$ sur $[0,1]$. Or $\mathbf{0}:t \mapsto 0=0\times t +0$ donc $\mathbf{0}$ est affine i.e. $\mathbf{0} \in F$.
      Soit $f,g \in F$ et $\lambda \in R$. Alors $f$ et $g$ étant affines, il existe $a,b,a',b' \in \mathbb{R}$ tels que $f:t\mapsto at+b$ et $g:t\mapsto a't+b'$ On a, pour tout $t \in [0,1]$ : \[ \begin{array}{rcl} (\lambda f+g)(t) &=& \lambda f(t) +g(t)

      \\ &=& \lambda (at+b)+ (a't+b')

      \\ (\lambda f+g)(t)&=& (\lambda a+a')t+(\lambda b +b') \end{array} \] Par suite, comme $(\lambda a+a') \in \mathbb{R}$ et $(\lambda b+b') \in \mathbb{R}$, $\lambda f+g$ est affine et donc $\lambda f+g \in E$.
      Il en résulte que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
    • 2ème façon : sous-espace engendré. On sait que $f$ est une fonction affine si, et seulement si, il existe $a,b$ tel que $f:t \mapsto at+b$. Ainsi, $f$ est affine si, et seulement si, $f=af_1+bf_0$ où $f_0:t \mapsto 1$ et $f_1:t \mapsto t$.
      Par suite, $F=\text{Vect}(f_0,f_1)$ (où on note par le même nom les restrictions de $f_0$ et $f_1$ à $[0,1]$). Un sous-espace engendré par une famille de vecteurs de $E$ étant un sous-espace vectoriel de $E$, on en déduit que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  2. En dessinant quelques graphes, on conjecture que $c=\frac{1}{2}$. Montrons le :

    On procède par double inclusion :
    Soit $f \in F\cap \text{Ker}(\varphi)$. Alors $f \in F$ et $f \in \text{Ker}(\varphi)$ donc il existe $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $f: t \mapsto at+b$ et $\int_0^1f(t) dt=\varphi(f)=0$. Par suite, on a : \[ 0=\int_0^1f(t) dt= \int_0^1(at+b) dt = \frac{1}{2}a+b \] d'où $b=-\frac{1}{2}a$ et donc, pour tout $t \in [0,1]$, $f(t)=a(x-\frac{1}{2})$.
    Ainsi, $f(\frac{1}{2})=a(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})=0$.
    Donc $F\cap \text{Ker}(\varphi)\subset \{f \in F \; | \; f(\frac{1}{2})=0\}$.


    Réciproquement, si $f \in \{f \in F \; | \; f(\frac{1}{2})=0\}$. Alors $f$ est affine et donc il existe $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $f: t \mapsto at+b$. Comme $a\frac{1}{2}+b=0=f(\frac{1}{2})$, on a $b=-\frac{1}{2}a$ et donc : \[ \int_0^1f(t) dt = \int_0^1a(x-\frac{1}{2}) dt=a(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})=0 \] Donc $f \in F \cap \text{Ker}(\varphi)$; d'où $\{f \in F \; | \; f(\frac{1}{2})=0\} \subset \text{Ker}(\varphi)$.


    Il en résulte que $F\cap \text{Ker}(\varphi)= \{f \in F \; | \; f(\frac{1}{2})=0\}$.
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