Soit $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 1&-1&3 \\ -2&2&3 \\ 2&1&0 \end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 4&-1&-3 \\ 1&2&-3 \\ -1&1&6 \end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ 6&-5&2 \\ -3&1&-4 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 3&-4&-5 \\ 6&-8&-6 \\ -7&8&5 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \\ 1&0&1 \\ 1&-1&0 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 4&1&0 \\ 0&2&-1 \\ 1&1&3 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.

Soit $a \in \mathbb{R}$ et $A=\begin{pmatrix} 1+a&1+a&1 \\ -a&-a&-1 \\ a&a-1&0 \end{pmatrix}$.

1. Pour quelles valeurs de $a$ la matrice $A$ est-elle trigonalisable ? diagonalisable ?
2. Effectuer la trigonalisation/diagonalisation selon les valeurs de $a$ déterminée à la question précédente.

Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$ et $x,y \in \mathbb{C}^*$ tels que $y\neq \pm x$. On considère la matrice : \[ A=\begin{pmatrix}x & y& x& \dots &y &x &y \\y & x&y & \dots & x& y&x \\x & y&x & \dots &y &x &y \\\vdots&\vdots&\vdots& \ddots &\vdots&\vdots&\vdots \\y & x& y& \dots &x &y &x \\x & y&x & \dots &y &x &y \\y & x&y & \dots &x &y &x \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C}). \]Montrer que $A$ est diagonalisable.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $E$ une espace vectoriel de dimension $n$ sur $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ de rang $1$. Montrer que $u$ est diagonalisable si, et seulement si, $\text{Tr}(u)\neq 0$.

Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$.

Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} 4&-1&-3 \\ 1&2&-3 \\ -1&1&6 \end{pmatrix}$.

Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ 6&-5&2 \\ -3&1&-4 \end{pmatrix}$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Déterminer toutes les matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que :\[ \begin{cases} \text{Tr}(A)=0 \\ A^3-6A^2+9A=0_n \end{cases}\]

Soit $A \in \mathcal{M}(\mathbb{K})$ telle que $A^2$ est diagonalisable.

1. Si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ et $A$ inversible; montrer que $A$ est diagonalisable.
2. Si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ et $A$ non inversible, $A$ est-elle diagonalisable ?
3. Si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ et $A$ inversible, $A$ est-elle diagonalisable ?

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de rang $1$. Montrer que $u$ est diagonalisable si, et seulement si, $\text{Im}(u) \not \subset \text{Ker}(u)$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $A,N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telles que $N$ est nilpotente et $A,N$ commutent. Montrer que :\[ \text{det}(A+N)=\text{det}(A)\]On pourra commencer par étudier le cas $A \in \text{GL}_n(\mathbb{K})$.