Soit $F=\{f \in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R}) \; | \; f(0)=0 \text{ et }f'(0)=0\}$.

1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
2. Déterminer un sous-espace supplémentaire de $F$ dans $C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$.

On considère les sous-espaces vectoriels $F=\text{Vect}(1,1,1)$ et $G=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; x+y+z=0 \}$ de $\mathbb{R}^3$. Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}^3$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On pose $G=\{f \in C(\mathbb{R},\mathbb{R}) \; | \; f(k)=0 \text{ pour tout }k \in \;[\!\!\![\; 1,n\;]\!\!\!]\;\}$.

1. Montrer que $G$ est un sous-espace vectoriel de $C(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
2. Déterminer un sous-espace supplémentaire de $G$ dans $C(\mathbb{R},\mathbb{R})$.