Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ et $p,q$ des projecteurs de $E$ qui commutent. Montrer que $p\circ q$ est un projecteur puis déterminer son noyau et son image en fonction de ceux de $p$ et $q$.

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ et $p,q \in \mathcal{L}(E)$.

1. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
   • $p \circ q = p$ et $q \circ p = q$.
   • $p$ et $q$ sont des projecteurs de même noyau.
2. Déterminer une condition nécessaire et suffissante pour que $p$ et $q$ soient des projecteurs de même image.