Exercices de la catégorie Éléments propres d'un endomorphisme
Éléments propres d'un endomorphisme : liste des exercices
Détails de l'exercice #265
Niveaux :
En Mathématiques :
Bac+2.
Énoncé
On considère $E=\{u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \; | \; \lim u = 0\}$. On note $\varphi$ l'application définie, pour $u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in E$, par $\varphi(u)=(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où, pour $n \in \mathbb{N}$ :\[
v_n=u_{n+1}-u_n.
\]
- Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.
- Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $\varphi$.
Détails de l'exercice #266
Niveaux :
En Mathématiques :
Bac+2.
Énoncé
Soirt $E=C([0,1],\mathbb{R})$. On définie, pour $f \in E$, la fonction $\varphi(f):[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ par :\[
\varphi(f)(x) = \begin{cases}
\displaystyle \frac{1}{x}\int_0^x f(t)\text{d}t & \text{ si }x \in ]0,1] \\ \\
f(0)&\text{ sinon.}
\end{cases}
\]
- Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.
- Déterminer les valeurs propres de $\varphi$.
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