Soit $n \in \mathbb{N}$ et $x_0,...,x_n$ des réels tous distincts. Montrer que l'application $f:\mathbb{R}_n[X]\rightarrow \mathbb{R}^{n+1}$ définie, pour $P \in \mathbb{R}_n[X]$, par :\[ f(P)=(P(x_0),...,P(x_n))\]est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f,g \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que si $f+g$ est bijectif et $g\circ f = \mathbf{0}$ alors $\text{rg}(f)+\text{rg}(g)=\text{dim}(E)$.

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f \in \mathcal{L}(E)$. On suppose que $\text{rg}(f^2)=\text{rg}(f)$.

1. Montrer que $\text{Im}(f^2)=\text{Im}(f)$ et $\text{Ker}(f^2)=\text{Ker}(f)$.
2. En déduire que $\text{Im}(f)$ et $\text{Ker}(f)$ sont supplémentaires dans $E$.