Soit $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$, $\mathcal{B}'=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ la famille de vecteurs de $\mathbb{R}_3$ définie par :\[
\varepsilon_1=e_1+e_2-e_3; \quad \varepsilon_2=e_1-e_3; \quad \varepsilon_3=e_1-e_2
\]On note $A=\begin{pmatrix}
2&-1&0 \\
-2&1&-2 \\
1&1&3
\end{pmatrix}$ et on considère $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ canoniquement associé à $A$.
Montrer que $\mathcal{B}'$ est une base de $\mathbb{R}^3$ et déterminer la matrice $P$ de passage de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ puis la matrice $Q$ de passage de $\mathcal{B}'$ vers $\mathcal{B}$.
Soit $n\in \mathbb{N}^*$, $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^n=\mathbf{0}$ et $f^{n-1}\neq\mathbf{0}$. Montrer qu'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que :\[
\text{Mat}_{\mathcal{B}}(f)=\begin{pmatrix}
0 &1 & &0 \\
\vdots&\ddots&\ddots& \\
\vdots& &\ddots&1 \\
0 &\dots &\dots &0
\end{pmatrix}
\]
Déterminer la matrice dans les bases canoniques des espaces de départ et d'arrivée de l'application linéaire $f: \mathbb{R}_4[X] \rightarrow \mathbb{R}_4[X]$ telle que, pour $P \in \mathbb{R}_4[X]$ :\[
f(P)=P(X+2).
\]
Déterminer la matrice dans les bases canoniques des espaces de départ et d'arrivée de l'application linéaire $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4$ telle que, pour $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ :\[
f(x,y,z)=(x+y,y-4z,z-x,x-2y-z).
\]
Déterminer la matrice dans les bases canoniques des espaces de départ et d'arrivée de l'application linéaire $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ telle que, pour $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ :\[
f(x,y,z)=(2x+y,y-x+3z)
\]