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Exercices de la catégorie Calcul matriciel
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Calcul matriciel : liste des exercices
Classement : MathématiquesCalcul matriciel
Exercice #391
Exercice de base
Détails de l'exercice #391
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
On considère la matrice suivante :\[ A=\begin{pmatrix} 3&3 \\ 0&3 \end{pmatrix}. \]Montrer que $A$ est inversible puis calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{Z}$.
Exercice #392
Exercice de base
Détails de l'exercice #392
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Montrer que la matrice $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[ A=\begin{pmatrix} -1&1&-1 \\ 1&2&0 \\ 2&2&1 \end{pmatrix}. \]
Exercice #393
Exercice de base
Détails de l'exercice #393
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Trouver toutes les matrices colonnes $X \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ telle que $AX=2X$, où :\[ A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ -2&1&1 \\ -4&-2&4 \end{pmatrix}. \]De même pour $AX=X$.
Exercice #395
Exercice de base
Détails de l'exercice #395
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A,B,C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ des matrices non nulles telles que $ABC=O_n$. Montrer qu'au moins deux matrices parmi $A,B,C$ ne sont pas inversibles.
Exercice #398
Exercice de base
Détails de l'exercice #398
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit une matrice symétrique.
Exercice #502
Exercice de base
Détails de l'exercice #502
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Montrer que $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[ A=\begin{pmatrix} 0&1&1 \\ 1&0&1 \\ 1&1&1 \end{pmatrix}. \]
Exercice #503
Exercice de base
Détails de l'exercice #503
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Montrer que $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[ A=\begin{pmatrix} 2&1&-2 \\ -1&0&1 \\ -2&1&0 \end{pmatrix}. \]
Exercice #394
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #394
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère la matrice $ A= \begin{pmatrix} 1 &... & ... &1 \\ 0 &\ddots& &\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\ 0 &... &0 &1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
  1. Montrer que $A$ est inversible puis déterminer son inverse.
  2. Déterminer $A^{-k}$ pour $k \in \mathbb{N}$.
  3. Conjecturer la valeur des coefficients de $A^{k}$ pour $k \in \mathbb{N}$ puis démontrer cette conjecture.
Exercice #397
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #397
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que la matrice $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[ A= \begin{pmatrix} 1 &2 &3 & ... &n \\ 0 &\ddots&\ddots&\ddots&\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&3 \\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&2 \\ 0 &... &... &0 &1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).\]
Classement : MathématiquesCalcul matriciel
Exercice #577
Exercice de base
Détails de l'exercice #577
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$ et $a,b \in \mathbb{C}$. Calculer le déterminant de taille $n \times n$ suivant : \[ \begin{vmatrix} a &b &\hdots&\hdots&b \\ b &a &\ddots& &\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots \\ \vdots& &\ddots&a &b \\ b &\hdots&\hdots&b &a \end{vmatrix} \]
Exercice #578
Exercice de base
Détails de l'exercice #578
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{C}$. On considère le déterminant de taille $(n+1) \times (n+1)$ suivant : \[ \Delta_n(x)=\begin{vmatrix} 1 &1 &\hdots&\hdots &1 \\ 1 &1-x &\ddots& &\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots &\vdots \\ \vdots& &\ddots&(n-1)-x&1 \\ 1 &\hdots&\hdots&1 &n-x \end{vmatrix} \]Calculer $\Delta_n(x)$ de deux manières différentes : l'une en utilisant des opérations sur les lignes et/ou colonnes; l'autre en étudiant les zéros de la fonction $x \mapsto \Delta_n(x)$.
Classement : MathématiquesCalcul matriciel
Exercice #328
Exercice de base
Détails de l'exercice #328
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$.
Exercice #330
Exercice de base
Détails de l'exercice #330
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ 6&-5&2 \\ -3&1&-4 \end{pmatrix}$.
Exercice #329
Exercice de base
Détails de l'exercice #329
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} 4&-1&-3 \\ 1&2&-3 \\ -1&1&6 \end{pmatrix}$.
Exercice #590
Exercice de base
Détails de l'exercice #590
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $p$ un projecteur de $E$. Calculer $\text{exp}(p)$.
Exercice #593
Exercice de base
Détails de l'exercice #593
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_p(\mathbb{R})$ telle que $A^2=-A$. Calculer $\text{exp}(A)$.
Exercice #591
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #591
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $s$ une symétrie de $E$. Calculer $\text{exp}(s)$.
Exercice #594
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #594
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_p(\mathbb{R})$ telle que $A^2=A+I_p$. On note $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Montrer que : \[ \text{exp}(A)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\varphi e^{-\frac{1}{\varphi}}+\frac{1}{\varphi} e^{\varphi}\right)I_p+\left(e^{\varphi}-e^{-\frac{1}{\varphi}}\right)A\right). \]
Classement : MathématiquesCalcul matriciel
Exercice #496
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #496
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Soit $M,A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$
  1. Montrer que si, pour tout $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$,\[ \text{det}(M+N)=\text{det}(N), \]alors $M=0_n$.
  2. En déduire que si, pour tout $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $\text{det}(A+C)=\text{det}(B+C)$ alors $A=B$.
Classement : MathématiquesCalcul matriciel
Exercice #493
Exercice de base
Détails de l'exercice #493
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$ et $\mathcal{B}'=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ la famille de vecteurs de $\mathbb{R}^3$ définie par :\[ \varepsilon_1=e_1+e_2-2e_3\,; \quad \varepsilon_2=e_1-2e_3\,; \quad \varepsilon_3=e_1-e_2\,. \]
  1. Montrer que $\mathcal{B}'$ est une base de $\mathbb{R}^3$.
  2. Déterminer la matrice $P$ de passage de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ puis la matrice $Q$ de passage de $\mathcal{B}'$ vers $\mathcal{B}$.
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