Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{C}$. On considère le déterminant de taille $(n+1) \times (n+1)$ suivant : \[
\Delta_n(x)=\begin{vmatrix}
1 &1 &\hdots&\hdots &1 \\
1 &1-x &\ddots& &\vdots \\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots &\vdots \\
\vdots& &\ddots&(n-1)-x&1 \\
1 &\hdots&\hdots&1 &n-x
\end{vmatrix}
\]Calculer $\Delta_n(x)$ de deux manières différentes : l'une en utilisant des opérations sur les lignes et/ou colonnes; l'autre en étudiant les zéros de la fonction $x \mapsto \Delta_n(x)$.