Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que le sous-ensemble suivant est un sous-espace affine de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ :\[
\mathcal{F}=\{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \; | \; \text{tr}(A)=n \}.
\]
Montrer que le sous-ensemble suivant est un sous-espace affine de $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ :\[
\mathcal{F}=\{f \in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}) \; | \; f(0)=1 \text{ et }f(1)=-1\}
\]
Montrer que le sous-ensemble suivant est un sous-espace affine de $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ :\[
\mathcal{F}=\left\{f \in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}) \; | \; \forall \; k \in \mathbb{N}, \; f^{(k)}(0) = \begin{cases}
(-1)^p &\text{ si }k=2p \text{ pair avec }p\in \mathbb{N} \\
0&\text{ si }k\text{ impair}
\end{cases}
\right\}.
\]
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que le sous-ensemble suivant est un sous-espace affine de $\mathbb{R}[X]$ :\[
\mathcal{F}=\{P \in \mathbb{R}[X] \; | \; \forall k \in \;[\!\!\![\; 0, n \;]\!\!\!]\;, \;P(k)=e^k\}.
\]