Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. Calculer :\[
a) \prod_{z \in \mathbb{U}_n}z \quad \quad b) \sum_{z \in \mathbb{U}_n}|z-1|.
\]
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[
2iz+5=3\overline{z}+5i
\]En cas d'existence, on donnera la ou les solutions sous forme algébrique.
Il s'agit d'une équation polynomiale du second degré, on applique la résolution classique utilisant le discriminant.
Correction
Le discriminant $\Delta$ de l'équation polynomiale du second degré vérifie :\[
\Delta = (5i)^2-4\times 1 \times (-4)= -9 \neq 0
\]et $\delta=3i$ est une racine de $\Delta$. Par suite, l'équation possède deux solutions distinctes $z_{\pm}$ :\[
z_{\pm} = \frac{-5i\pm \delta}{2\times 1}
\]et ainsi, $z_+=-i$ et $z_-=-4i$. L'équation a donc pour solutions $-i$ et $-4i$.
Soit $A,B,C,D$ quatre points du plan complexe tels que $A\neq B$ et $C \neq D$. Montrer qu'il existe une unique similitude directe $s: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ telle que $s(A)=C$ et $s(B)=D$. Dans cet exercice, on identifie les points du plan complexe avec leurs affixes.
Indications
Faire l'analyse du problème.
Correction
Analysons le problème : si $s$ est une similitude directe vérifiant les propriétés demandées, alors il existe $a,b \in \mathbb{C}$ avec $a\neq 0$ tels que $s:z \mapsto az+b$ et $aA+b=s(A)=C$; $aB+b=s(B)=D$. Alors, en faisant la différence et la somme de ces égalités, on obtient :\[
\begin{cases}
a(A-B)=C-D \\
a(A+B)+2b=C+D &
\end{cases}
\]$A$ étant différent de $B$, on obtient :\[
\begin{cases}
a=\frac{C-D}{A-B} \\
b=\frac{1}{2}\left(C+D-\frac{(C-D)(A+B)}{A-B}\right)=\frac{AD-BC}{A-B}.
\end{cases}
\]Passons à la synthèse. Existence : On pose $a=\frac{C-D}{A-B} \in \mathbb{C}^*$ (non nul car $C \neq D$), $b=\frac{AD-BC}{A-B} \in \mathbb{C}$ et $s:z \mapsto az+b$. Alors $s$ est une similitude directe et on a :\[
s(A)=aA+b=\frac{C-D}{A-B}A+\frac{AD-BC}{A-B}=C
\]et \[
s(B)=aB+b=\frac{C-D}{A-B}B+\frac{AD-BC}{A-B}=D
\]d'où l'existence d'une similitude qui envoie $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$. Unicité : Soit deux telles similitudes $s:z\mapsto az+b$ et $s':z\mapsto a'z+b'$. Alors :\[
aA+b=s(A)=C=s'(A)=a'A+b'
\]et \[
aB+b=s(B)=D=s'(B)=a'B+b'
\]d'où, en faisant la différence de ces deux égalités, on obtient :\[
a=a' \text{ puis }b=b'.
\]Donc $s=s'$. (pour l'unicité, on aurait pu également pu réutiliser ce qui avait été fait dans l'analyse !)