Exercices de la catégorie Nombres complexes
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Nombres complexes : liste des exercices
Exercice #95
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[ z^6=64i\]On donner les solutions sous forme exponentielle.
Exercice #33
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. Calculer :\[ a) \prod_{z \in \mathbb{U}_n}z \quad \quad b) \sum_{z \in \mathbb{U}_n}|z-1|.\]
Exercice #34
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ : \[ z^n=\overline{z}. \]
Exercice #30
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité.
- Soit $p \in \mathbb{N}$. Calculer $\displaystyle \sum_{z \in \mathbb{U}_n} z^p$.
- En déduire la valeur de la somme $\displaystyle \sum_{z \in \mathbb{U}_n}(1+z)^n$.
Exercice #91
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[ (3+i)z=2iz+2\]En cas d'existence, on donnera la ou les solutions sous forme algébrique.
Exercice #92
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[ (1+3i)z+6=2iz+2\]En cas d'existence, on donnera la ou les solutions sous forme algébrique.
Exercice #93
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[ 2iz+5=3\overline{z}+5i\]En cas d'existence, on donnera la ou les solutions sous forme algébrique.
Exercice #108
Énoncé
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante d'inconnue $z\in \mathbb{C}$ :\[(z^2+z+1)^2+1=0\]
Exercice #32
Énoncé
Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z\in \mathbb{C}$ :\[ z^2+5z+7=i\]
Exercice #109
Détails de l'exercice #109
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Mots clés associés :
discriminant
discriminant
Énoncé
Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[z^2+5iz-4 = 0.\]
Indications
Il s'agit d'une équation polynomiale du second degré, on applique la résolution classique utilisant le discriminant.
Correction
Le discriminant $\Delta$ de l'équation polynomiale du second degré vérifie :\[\Delta = (5i)^2-4\times 1 \times (-4)= -9 \neq 0\]et $\delta=3i$ est une racine de $\Delta$.
Par suite, l'équation possède deux solutions distinctes $z_{\pm}$ :\[z_{\pm} = \frac{-5i\pm \delta}{2\times 1}\]et ainsi, $z_+=-i$ et $z_-=-4i$.
L'équation a donc pour solutions $-i$ et $-4i$.
Par suite, l'équation possède deux solutions distinctes $z_{\pm}$ :\[z_{\pm} = \frac{-5i\pm \delta}{2\times 1}\]et ainsi, $z_+=-i$ et $z_-=-4i$.
L'équation a donc pour solutions $-i$ et $-4i$.
Exercice #110
Énoncé
Soit $A,B,C,D$ quatre points du plan complexe tels que $A\neq B$ et $C \neq D$. Montrer qu'il existe une unique similitude directe $s: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ telle que $s(A)=C$ et $s(B)=D$.
Dans cet exercice, on identifie les points du plan complexe avec leurs affixes.
Dans cet exercice, on identifie les points du plan complexe avec leurs affixes.
Indications
Faire l'analyse du problème.
Correction
Analysons le problème :
si $s$ est une similitude directe vérifiant les propriétés demandées, alors il existe $a,b \in \mathbb{C}$ avec $a\neq 0$ tels que $s:z \mapsto az+b$ et $aA+b=s(A)=C$; $aB+b=s(B)=D$.
Alors, en faisant la différence et la somme de ces égalités, on obtient :\[\begin{cases} a(A-B)=C-D \\ a(A+B)+2b=C+D &\end{cases}\]$A$ étant différent de $B$, on obtient :\[\begin{cases} a=\frac{C-D}{A-B} \\ b=\frac{1}{2}\left(C+D-\frac{(C-D)(A+B)}{A-B}\right)=\frac{AD-BC}{A-B}.\end{cases}\]Passons à la synthèse.
Existence : On pose $a=\frac{C-D}{A-B} \in \mathbb{C}^*$ (non nul car $C \neq D$), $b=\frac{AD-BC}{A-B} \in \mathbb{C}$ et $s:z \mapsto az+b$. Alors $s$ est une similitude directe et on a :\[s(A)=aA+b=\frac{C-D}{A-B}A+\frac{AD-BC}{A-B}=C\]et \[s(B)=aB+b=\frac{C-D}{A-B}B+\frac{AD-BC}{A-B}=D\]d'où l'existence d'une similitude qui envoie $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$.
Unicité : Soit deux telles similitudes $s:z\mapsto az+b$ et $s':z\mapsto a'z+b'$. Alors :\[aA+b=s(A)=C=s'(A)=a'A+b'\]et \[aB+b=s(B)=D=s'(B)=a'B+b'\]d'où, en faisant la différence de ces deux égalités, on obtient :\[a=a' \text{ puis }b=b'.\]Donc $s=s'$.
(pour l'unicité, on aurait pu également pu réutiliser ce qui avait été fait dans l'analyse !)
si $s$ est une similitude directe vérifiant les propriétés demandées, alors il existe $a,b \in \mathbb{C}$ avec $a\neq 0$ tels que $s:z \mapsto az+b$ et $aA+b=s(A)=C$; $aB+b=s(B)=D$.
Alors, en faisant la différence et la somme de ces égalités, on obtient :\[\begin{cases} a(A-B)=C-D \\ a(A+B)+2b=C+D &\end{cases}\]$A$ étant différent de $B$, on obtient :\[\begin{cases} a=\frac{C-D}{A-B} \\ b=\frac{1}{2}\left(C+D-\frac{(C-D)(A+B)}{A-B}\right)=\frac{AD-BC}{A-B}.\end{cases}\]Passons à la synthèse.
Existence : On pose $a=\frac{C-D}{A-B} \in \mathbb{C}^*$ (non nul car $C \neq D$), $b=\frac{AD-BC}{A-B} \in \mathbb{C}$ et $s:z \mapsto az+b$. Alors $s$ est une similitude directe et on a :\[s(A)=aA+b=\frac{C-D}{A-B}A+\frac{AD-BC}{A-B}=C\]et \[s(B)=aB+b=\frac{C-D}{A-B}B+\frac{AD-BC}{A-B}=D\]d'où l'existence d'une similitude qui envoie $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$.
Unicité : Soit deux telles similitudes $s:z\mapsto az+b$ et $s':z\mapsto a'z+b'$. Alors :\[aA+b=s(A)=C=s'(A)=a'A+b'\]et \[aB+b=s(B)=D=s'(B)=a'B+b'\]d'où, en faisant la différence de ces deux égalités, on obtient :\[a=a' \text{ puis }b=b'.\]Donc $s=s'$.
(pour l'unicité, on aurait pu également pu réutiliser ce qui avait été fait dans l'analyse !)
Exercice #111
Énoncé
Caractériser géométriquement la similitude directe $s: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ telle que, pour $z \in \mathbb{C}$ :\[s(z)=(2+2i)z+1-3i.\]
Exercice #96
Énoncé
Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Exprimer $\sin(5\theta)$ en fonction de $\sin(\theta)$.
Exercice #38
Énoncé
Soit $z \in \mathbb{C} \smallsetminus\{1\}$ tel que $|z|=1$.
Montrer que $\displaystyle \frac{z+1}{z-1}$ est un imaginaire pur.
Montrer que $\displaystyle \frac{z+1}{z-1}$ est un imaginaire pur.
Exercice #94
Énoncé
Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Lorsque c'est possible, mettre sous forme exponentielle le nombre complexe $z=e^{i\theta}+e^{i2\theta}$.
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