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Exercice #109
Détails de l'exercice #109
Exercice enregistré par M. Arnt
Matière : Mathématiques
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Catégories :
En Mathématiques :
Algèbre ⇐ Nombres complexes ⇐ Équations de la variable complexe ⇐ Équations polynomiales du second degré
En Mathématiques :
Algèbre ⇐ Nombres complexes ⇐ Équations de la variable complexe ⇐ Équations polynomiales du second degré
Mots clés associés :
discriminant
discriminant
Énoncé
Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :
\[ z^2+5iz-4 = 0. \]
\[ z^2+5iz-4 = 0. \]
Indications
Il s'agit d'une équation polynomiale du second degré, on applique la résolution classique utilisant le discriminant.
Correction
Le discriminant $\Delta$ de l'équation polynomiale du second degré vérifie :
\[ \Delta = (5i)^2-4\times 1 \times (-4)= -9 \neq 0 \]
et $\delta=3i$ est une racine de $\Delta$.
Par suite, l'équation possède deux solutions distinctes $z_{\pm}$ :
\[ z_{\pm} = \frac{-5i\pm \delta}{2\times 1} \]
et ainsi, $z_+=-i$ et $z_-=-4i$.
L'équation a donc pour solutions $-i$ et $-4i$.
\[ \Delta = (5i)^2-4\times 1 \times (-4)= -9 \neq 0 \]
et $\delta=3i$ est une racine de $\Delta$.
Par suite, l'équation possède deux solutions distinctes $z_{\pm}$ :
\[ z_{\pm} = \frac{-5i\pm \delta}{2\times 1} \]
et ainsi, $z_+=-i$ et $z_-=-4i$.
L'équation a donc pour solutions $-i$ et $-4i$.
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