Analysons le problème :
si $s$ est une similitude directe vérifiant les propriétés demandées, alors il existe $a,b \in \mathbb{C}$ avec $a\neq 0$ tels que $s:z \mapsto az+b$ et $aA+b=s(A)=C$; $aB+b=s(B)=D$.
Alors, en faisant la différence et la somme de ces égalités, on obtient :\[\begin{cases} a(A-B)=C-D \\ a(A+B)+2b=C+D &\end{cases}\]$A$ étant différent de $B$, on obtient :\[\begin{cases} a=\frac{C-D}{A-B} \\ b=\frac{1}{2}\left(C+D-\frac{(C-D)(A+B)}{A-B}\right)=\frac{AD-BC}{A-B}.\end{cases}\]Passons à la synthèse.
Existence : On pose $a=\frac{C-D}{A-B} \in \mathbb{C}^*$ (non nul car $C \neq D$), $b=\frac{AD-BC}{A-B} \in \mathbb{C}$ et $s:z \mapsto az+b$. Alors $s$ est une similitude directe et on a :\[s(A)=aA+b=\frac{C-D}{A-B}A+\frac{AD-BC}{A-B}=C\]et \[s(B)=aB+b=\frac{C-D}{A-B}B+\frac{AD-BC}{A-B}=D\]d'où l'existence d'une similitude qui envoie $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$.
Unicité : Soit deux telles similitudes $s:z\mapsto az+b$ et $s':z\mapsto a'z+b'$. Alors :\[aA+b=s(A)=C=s'(A)=a'A+b'\]et \[aB+b=s(B)=D=s'(B)=a'B+b'\]d'où, en faisant la différence de ces deux égalités, on obtient :\[a=a' \text{ puis }b=b'.\]Donc $s=s'$.
(pour l'unicité, on aurait pu également pu réutiliser ce qui avait été fait dans l'analyse !)