Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que si $A+{}^{t}\mkern-3mu A$ est nilpotente, alors $A$ est une matrice antisymétrique.

Soit $E$ un espace euclidien et $u,v \in \mathcal{L}(E)$.

1. On suppose que $u \in \mathcal{S}^{++}(E)$ (i.e. $u$ est un endomorphisme autoadjoint défini positif). Justifier que $u$ est bijectif et montrer qu'il existe $r \in \mathcal{S}^{++}(E)$ tel que $r^2=u$.
2. On suppose $u \in \mathcal{S}^{++}(E)$ et $v \in \mathcal{S}(E)$. Montrer que $u^{-1}\circ v$ est diagonalisable.