On considère l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ orienté par la base canonique. Caractériser géométriquement l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice $A$ dans la base canonique est :\[
A=\frac{1}{2\sqrt{3}}\begin{pmatrix}
6\sqrt{3}&0&4\sqrt{6} \\
0&\sqrt{3}&-1 \\
-4\sqrt{6}&3&-5\sqrt{3}
\end{pmatrix}
\]
On considère l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ orienté par la base canonique. Caractériser géométriquement l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice $A$ dans la base canonique est :\[
A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\sqrt{3}&0&1 \\
0&2&0 \\
-1&0&\sqrt{3}
\end{pmatrix}
\]
On considère l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ orienté par la base canonique. Caractériser géométriquement l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice $A$ dans la base canonique est :\[
A=-\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}
1&0&-1 \\
0&-\sqrt{2}&0 \\
1&0&1
\end{pmatrix}
\]
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que si $A+{}^{t}\mkern-3mu A$ est nilpotente, alors $A$ est une matrice antisymétrique.
Soit $E$ un espace euclidien et $u,v \in \mathcal{L}(E)$.
On suppose que $u \in \mathcal{S}^{++}(E)$ (i.e. $u$ est un endomorphisme autoadjoint défini positif). Justifier que $u$ est bijectif et montrer qu'il existe $r \in \mathcal{S}^{++}(E)$ tel que $r^2=u$.
On suppose $u \in \mathcal{S}^{++}(E)$ et $v \in \mathcal{S}(E)$. Montrer que $u^{-1}\circ v$ est diagonalisable.
On munit $E=\mathbb{R}[X]$ du produit scalaire $(\cdot | \cdot)$ tel que, pour $P,Q \in E$ :\[
(P|Q)=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 P(t)Q(t)\text{d}t.
\]
Par le procédé d'orthonormalisation de Gramm-Schmidt, déterminer une famille orthonormale $(e_0,e_1,e_2)$ de $E$ à partir de la famille $(1,X,X^2)$. Dans la suite, on note $F=\text{Vect}(e_0,e_1,e_2)$.
Pour $n \in \mathbb{N}$, calculer la projection orthogonale de $X^{2n+1}$ sur $F$.