On munit $E=\mathbb{R}[X]$ du produit scalaire $(\cdot | \cdot)$ tel que, pour $P,Q \in E$ :\[ (P|Q)=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 P(t)Q(t)\text{d}t.\]

1. Par le procédé d'orthonormalisation de Gramm-Schmidt, déterminer une famille orthonormale $(e_0,e_1,e_2)$ de $E$ à partir de la famille $(1,X,X^2)$.
   Dans la suite, on note $F=\text{Vect}(e_0,e_1,e_2)$.
2. Pour $n \in \mathbb{N}$, calculer la projection orthogonale de $X^{2n+1}$ sur $F$.
3. Déterminer la distance de $X^7$ à $F$.