On considère la permutation $\sigma$ suivante de $\mathcal{S}_{11}$ : \[ \sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\ 3&4&7&11&9&10&1&6&5&2&8 \end{pmatrix} \]Déterminer :

1. la décomposition de $\sigma$ en produit de cycle à supports disjoints;
2. la signature de $\sigma$;
3. l'ordre de $\sigma$ i.e. la plus petite puissance $k \in \mathbb{N}$ telle que $\sigma^k=\text{id}$;
4. une décomposition de $\sigma$ en produit de transpositions.

On considère la permutation $\sigma$ suivante de $\mathcal{S}_{12}$ : \[ \sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ 5&6&10&7&1&12&9&4&11&8&3&2 \end{pmatrix} \]Déterminer :

1. la décomposition de $\sigma$ en produit de cycle à supports disjoints;
2. la signature de $\sigma$;
3. l'ordre de $\sigma$ i.e. la plus petite puissance $k \in \mathbb{N}$ telle que $\sigma^k=\text{id}$;
4. une décomposition de $\sigma$ en produit de transpositions.

On considère la permutation $\sigma$ suivante de $\mathcal{S}_{9}$ : \[ \sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 4&9&1&3&6&5&2&7&8 \end{pmatrix} \]Déterminer :

1. la décomposition de $\sigma$ en produit de cycle à supports disjoints;
2. la signature de $\sigma$;
3. l'ordre de $\sigma$ i.e. la plus petite puissance $k \in \mathbb{N}$ telle que $\sigma^k=\text{id}$;
4. une décomposition de $\sigma$ en produit de transpositions.