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Exercices de la catégorie Algèbre linéaire
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Algèbre linéaire : liste des exercices
Exercice #70
Exercice de base
Détails de l'exercice #70
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} 2x&-&y&+&z&=&3 \\ x&+&y&+&z&=&6 \\ -x&+&2y&-&z&=&0 \\ \end{array}\right. \]
Exercice #167
Exercice de base
Détails de l'exercice #167
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} 2x&+&y&+&z&=&0 \\ x&&&+&z&=&0 \\ &&y&+&z&=&0 \end{array}\right. \]
Exercice #168
Exercice de base
Détails de l'exercice #168
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x&+&2y&+&2z&=&0 \\ 2x&-&y&+&2z&=&0 \\ -x&+&3y&&&=&0 \end{array}\right. \]
Exercice #169
Exercice de base
Détails de l'exercice #169
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} 2x&+&y&-&z&=&1 \\ 4x&+&y&-&2z&=&3 \\ 2x&&&-&z&=&2 \end{array}\right. \]
Exercice #170
Exercice de base
Détails de l'exercice #170
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} 2x&+&y&+&z&+&t&=&0 \\ 4x&-&y&+&z&-&t&=&0 \\ 6x&&&+&2z&&&=&0 \\ 2x&-&2y&&&-&2t&=&0 \end{array}\right. \]
Exercice #171
Exercice de base
Détails de l'exercice #171
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} x&+&y&+&z&+&t&=&10 \\ x&-&y&+&z&-&t&=&-2 \\ 2x&-&y&&&+&t&=&4 \\ 3x&-&2y&-&z&+&t&=&0 \end{array}\right. \]
Exercice #172
Exercice de base
Détails de l'exercice #172
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} x&+&y&+&z&+&t&=&0 \\ x&-&y&+&z&-&t&=&0 \\ 2x&+&2y&-&z&+&2t&=&0 \end{array}\right. \]
Exercice #177
Exercice de base
Détails de l'exercice #177
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{C}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} ix&+&(1-i)y&+&iz&=&2 \\ (1+i)x&-&iy&+&z&=&i \\ (1-i)x&+&y&+&(1-i)z&=&1+i \end{array}\right. \]
Exercice #178
Exercice de base
Détails de l'exercice #178
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{C}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} e^{i\frac{\pi}{6}}x&+&e^{-i\frac{\pi}{6}}y&+&z&=&2i \\ e^{i\frac{\pi}{3}}x&-&e^{-i\frac{\pi}{3}}y&+&iz&=&0 \\ ix&+&e^{-i\frac{\pi}{6}}y&+&e^{i\frac{\pi}{3}}z&=&i \end{array}\right. \]
Exercice #176
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #176
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
On pose $j=e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
Montrer que le système linéaire suivant admet une unique solution $(x,y,z) \in \mathbb{C}^3$ vérifiant $x=\alpha(1-j)$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$ à déterminer :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x&+&jy&+&j^2z&=&0 \\ jx&+&y&+&j^2z&=&-j \\ j^2x&+&j^2y&+&z&=&j^2 \end{array}\right. \]
Exercice #74
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #74
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ selon la valeur du paramètre $m \in \mathbb{R}$:\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x&+&my&-&z&=&2 \\ x&+&2my&-&3z&=&0 \\ -2x&&&+&mz&=&-6 \\ \end{array}\right. \]
Exercice #175
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #175
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$, en fonction du paramètre $m \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x&+&my&+&m^2z&=&0 \\ mx&+&y&+&mz&=&0 \\ mx&+&m^2y&+&z&=&0 \end{array}\right. \]
Exercice #201
Exercice de base
Détails de l'exercice #201
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -1&-3&3 \\ 0&2&0 \\ 3&3&-1 \end{pmatrix}$
  1. Déduire du calcul de $A^2$ un polynôme annulateur de $A$. Est-ce le polynôme minimal de $A$ ?
  2. Montrer que $A$ est inversible en exhibant son inverse.
  3. Calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.

Exercice #199
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #199
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 4&6&3 \\ -2&-3&-2 \\ 1&2&2 \end{pmatrix}$
  1. Déduire du calcul de $A^2$ un polynôme annulateur de $A$. Est-ce le polynôme minimal de $A$ ?
  2. Montrer que $A$ est inversible en exhibant son inverse.
  3. Calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.

Exercice #553 Oral CCinP 2023
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #553
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Mots clés associés :
2023 CCinP Oral Théorème du rang
Source : BEOS #7655 Oral CCinP 2023
Énoncé
On pose $A=\begin{pmatrix} 0_n & I_n & 0_n \\ 0_n & 0_n & I_n \\ 0_n & 0_n & 0_n \end{pmatrix}$
  1. Calculer le polynôme caractéristique, le polynôme minimal et le rang de $A$.
  2. Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, montrer que $\text{dim}(\text{Ker}(u^2))\leqslant 2\text{dim}(\text{Ker}(u))$.
  3. Soit $B \in \mathcal{M}_{3n}(\mathbb{R})$ telle que $B^3=0_{3n}$ et $\text{rg}(B) = 2n$.
    1. Montrer que $\text{Im}(B^2) \subset \text{Ker}(B)$.
    2. En déduire le rang de $B^2$.
    3. Soit $(X_1,\hdots , X_m)$ une base d'un supplémentaire de $\text{Ker}(B^2)$. Montrer que $(B^2X_1, \hdots , B^2X_m, BX_1, \hdots, BX_m, X_1, \hdots, X_m)$ est une famille libre.
    4. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.
Indications
  1. Polynôme caractéristique : soit par un calcul direct, soit après avoir fait le polynôme minimal; polynôme minimal : calculer $A^2$ et $A^3$; rang : déterminer le nombre maximum de colonnes qui forme une famille libre (une base de l'image donc).
  2. Considérer l'application linéaire $v:\text{Im}(u) \rightarrow E$ telle que $v:x \mapsto u(x)$.
    1. Simple vérification.
    2. Utiliser la question précédente et la question 2.
    3. Montrer d'abord que $(B^2X_1, \hdots , B^2X_m)$ est une famille libre avec la définition en utilisant ensuite que l'intersection de $\text{Ker}(B^2)$ et du supplémentaire considéré est réduite à $0_{3n,1}$. Puis rappliquer la définition de famille libre à la famille entière et multiplier par $B$ puis par $B^2$.
    4. Considérer l'endomorphisme $u:X \mapsto BX$ de $M_{3n,1}(\mathbb{K})$ ou encore écrire la matrice $P$ ayant pour colonnes les éléments de la base de $M_{3n,1}(\mathbb{K})$ de la question précédente.
Correction
  1. On a, pour $\lambda \in \mathbb{R}$ : \[ \chi_A(\lambda)=\begin{vmatrix} \lambda I_n & -I_n & 0_n \\ 0_n & \lambda I_n & -I_n \\ 0_n & 0_n & \lambda I_n \end{vmatrix} \] Ce déterminant étant celui d'une matrice triangulaire par blocs, il est égal au produit des déterminants des blocs diagonaux, d'où : \[ \chi_A(\lambda) = \text{det}(\lambda I_n)^3 = \lambda^{3n} \] et donc $\chi_A=X^{3n}$.
    On a $A^2=\begin{pmatrix} 0_n & 0_n & I_n \\ 0_n & 0_n & 0_n \\ 0_n & 0_n & 0_n \end{pmatrix}$ et $A^3=0_{3n}$ donc $X^3$ est annulateur de $A$ mais pas $X^2$, d'où $\pi_A=X^3$.
    Le rang de $A$ est égal à $2n$ car ses $2n$ dernières colonnes forment une famille libre de $\mathcal{M}_{3n,1}(\mathbb{K})$ et les $n$ premières sont nulles donc liées aux $2n$ dernières.
    Remarque : on aurait également pu déduire le polynôme caractéristique à partir du polynôme minimal : en effet, comme $\pi_A=X^3$, $A$ est nilpotente et le cours affirme que dans ce cas, $\chi_A=X^{3n}$ car $A \in \mathcal{M}_{3n}(\mathbb{K})$.
  2. On note $v$ la restriction de $u$ à $\text{Im}(u)$. Alors $\text{Ker}(v) \subset \text{Ker}(u)$ et $\text{Im}(v) = \text{Im}(u^2)$ car, pour tout $x \in E$, $v(u(x))=u^2(x)$. Ainsi, d'après le théorème du rang, on a : \[ \begin{array}{rcl} \text{rg}(u)&=&\text{dim}\left(\text{Im}(u)\right) \\ &=&\text{rg}(v)+\text{dim}\left(\text{Ker}(v)\right) \\ &=&\text{rg}(u^2)+\text{dim}\left(\text{Ker}(v)\right) \\ &\leqslant &\text{rg}(u^2)+\text{dim}\left(\text{Ker}(u)\right) \\ \end{array} \] d'où : \[ \text{rg}(u)-\text{rg}(u^2)\leqslant\text{dim}\left(\text{Ker}(u)\right) \quad (*) \] Or, en appliquant le théorème du rang à $u$ puis à $u^2$, on a : \[ \begin{array}{l} \text{dim}\left(E\right)=\text{rg}(u)+\text{dim}\left(\text{Ker}(u)\right) \\ \text{dim}\left(E\right)=\text{rg}(u^2)+\text{dim}\left(\text{Ker}(u^2)\right) \end{array} \] donc : \[ \text{rg}(u)-\text{rg}(u^2) = \text{dim}\left(\text{Ker}(u^2)\right)-\text{dim}\left(\text{Ker}(u)\right). \] En reportant cette dernière égalité dans $(*)$ et en ajoutant $\text{dim}\left(\text{Ker}(u)\right)$ on obtient le résultat.
    1. Soit $Y \in \text{Im}(B^2)$. Alors il existe $X \in \mathcal{M}_{3n,1}(\mathbb{K})$ tel que $Y=B^2X$. Ainsi $BY=B(B^2X)=B^3X=0_3X=0_{3n,1}$. D'où $Y \in \text{Ker}(B)$. D'où l'inclusion.
    2. Comme $\text{rg}(B)=2n$, d'après le théorème du rang, $\text{dim}\left(\text{Ker}(B)\right)=3n-2n=n$. Ainsi, d'après la question précédente, $\text{rg}(B^2)\leqslant n$.
      De plus, pour $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{K}^n$ canoniquement associé à $B$. D'après la question 2., on a : \[ \text{dim}\left(\text{Ker}(u^2)\right)\leqslant 2\text{dim}\left(\text{Ker}(u)\right) \] d'où : \[ \text{dim}\left(\text{Ker}(B^2)\right)\leqslant 2\text{dim}\left(\text{Ker}(B)\right) \] et donc \[ 3n-\text{rg}(B^2)\leqslant 6n - 2\text{rg}(B) = 6n-4n=2n. \] Par suite, on obtient $\text{rg}(B^2) \geqslant 3n-2n = n$.
      Ainsi, $\text{rg}(B^2)=n$.
    3. D'après le résultat de la question précédente et le théorème du rang, on a $\text{dim}\left(\text{Ker}(B^2)\right)=3n-n=2n$, donc tout supplémentaire de $\text{Ker}(B^2)$ est de dimension $3n-2n=n$. Par suite, $m=n$.
      On note $S= \text{Vect}(X_1,\hdots,X_n)$ le supplémentaire de $\text{Ker}(B^2)$ considéré.
      Montrons que la famille $(B^2X_1,\hdots,B^2X_n)$ est libre. Soit $\lambda_1,\hdots, \lambda_n \in \mathbb{K}$. On suppose que $\sum_{i=1}^n \lambda_i B^2X_i = 0_{3n,1}$. On note $X=\sum_{i=1}^n \lambda_i X_i \in S$. Alors on a $B^2X=\sum_{i=1}^n \lambda_i B^2X_i = 0_{3n,1}$, donc $X \in S \cap \text{Ker}(B^2)= \{0_{3n,1}\}$ d'où $\sum_{i=1}^n \lambda_i X_i=0_{3n,1}$.
      Or, la famille $(X_1,\hdots,X_n)$ est libre comme base de $S$, donc $\lambda_1=0,\hdots, \lambda_n=0$. Par suite, $(B^2X_1,\hdots,B^2X_n)$ est libre.
      Montrons que la famille $(B^2X_1,\hdots,B^2X_n,BX_1,\hdots,BX_n,X_1,\hdots,X_n)$ est libre. Soit $\lambda_1,\hdots,\lambda_{n},\mu_1,\hdots,\mu_{n},\nu_1,\hdots,\nu_{n} \in \mathbb{K}$. On suppose que $Y=\sum_{i=1}^n \lambda_i B^2X_i+\sum_{i=1}^n \mu_i BX_i+\sum_{i=1}^n \nu_i X_i = 0_{3n,1}$.
      • On a : $B^2Y = \sum_{i=1}^n \lambda_i \underbrace{B^4X_i}_{=0_{3n,1}}+\sum_{i=1}^n \mu_i \underbrace{B^3X_i}_{=0_{3n,1}}+\sum_{i=1}^n \nu_i B^2X_i = B^20_{3n,1}=0_{3n,1}$, donc $\sum_{i=1}^n \nu_i B^2X_i =0_{3n,1}$. Or, d'après ce qui précède, la famille $(B^2X_1,\hdots,B^2X_n)$ est libre, d'où $\nu_1=0,...,\nu_n=0$.
      • $BY = \sum_{i=1}^n \lambda_i \underbrace{B^3X_i}_{=0_{3n,1}}+\sum_{i=1}^n \mu_i B^2X_i = B0_{3n,1}=0_{3n,1}$, donc $\sum_{i=1}^n \mu_i B^2X_i =0_{3n,1}$, d'où, comme précédemment, $\mu_1=0,...,\mu_n=0$.
      • $Y=\sum_{i=1}^n \lambda_i B^2X_i=0_{3n,1}$, d'où, comme précédemment, $\lambda_1=0,...,\lambda_n=0$.
      Il en résulte que $(B^2X_1,\hdots,B^2X_n,BX_1,\hdots,BX_n,X_1,\hdots,X_n)$ est libre.
    4. Comme $\mathcal{B}=(B^2X_1,\hdots,B^2X_n,BX_1,\hdots,BX_n,X_1,\hdots,X_n)$ est une famille libre de cardinal $3n$ dans $\mathcal{M}_{3n,1}(\mathbb{K})$ qui est de dimension $3n$, $\mathcal{B}$ est une base de $\mathcal{M}_{3n,1}(\mathbb{K})$.
      On considère la base canonique $\mathcal{C}=(E_1,\hdots,E_{3n})$ de $\mathcal{M}_{3n,1}(\mathbb{K})$.
      Voici deux façons (quasiment similaires) d'établir le résultat :
      • 1ère façon : en montrant que $A$ et $B$ représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes.
        Soit $u:X \mapsto BX$. Alors $u$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_{3n,1}(\mathbb{K})$ et $\text{Mat}_{\mathcal{C}}(u)=B$. Déterminons la matrice $\text{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$ de $u$ dans la base $\mathcal{B}$. On a, pour tout $i \in \;[\!\!\![\; 1,n \;]\!\!\!]\;$ : \[ \begin{array}{l} u(B^2X_i)=B(B^2X_i)=B^2X_i=0_{3n,1}, \\ u(BX_i)=B(BX_i)=B^2X_i \text{ et} \\ u(X_i)=B(X_i)=BX_i. \end{array} \] Par suite, on a : \[ \text{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} 0_n & I_n & 0_n \\ 0_n & 0_n & I_n \\ 0_n & 0_n & 0_n \end{pmatrix} = A \] Comme deux matrices qui représentent un même endomorphisme sont semblables, il en résulte que $A$ et $B$ sont semblables.
      • 2ème façon : en exhibant une matrice inversible de similitude entre $A$ et $B$.
        La matrice $P=(P_1|\hdots|P_{3n}) \in \mathcal{M}_{3n}(\mathbb{K})$ dont les colonnes $P_i$ de $P$ sont les éléments (dans l'ordre) de la base $\mathcal{B}$ est inversible car de rang $3n$ et on a : \[ \begin{array}{rcl} P^{-1}BP&=&P^{-1}B(B^2X_1|\hdots|B^2X_n|BX_1|\hdots|BX_n|X_1|\hdots|X_n) \\ &=&P^{-1}(B^3X_1|\hdots|B^3X_n|B^2X_1|\hdots|B^2X_n|BX_1|\hdots|BX_n) \\ &=&P^{-1}(0_{3n,1}|\hdots|0_{3n,1}|B^2X_1|\hdots|B^2X_n|BX_1|\hdots|BX_n) \\ &=&(0_{3n,1}|\hdots|0_{3n,1}|P^{-1}B^2X_1|\hdots|P^{-1}B^2X_n|P^{-1}BX_1|\hdots|P^{-1}BX_n) \\ \end{array} \] Or, comme $P^{-1}(B^2X_1|\hdots|B^2X_n|BX_1|\hdots|BX_n|X_1|\hdots|X_n)=P^{-1}P=I_{3n}=\left(E_1|\hdots|E_{3n}\right)$, on a : \[ (P^{-1}B^2X_1|\hdots|P^{-1}B^2X_n|P^{-1}BX_1|\hdots|P^{-1}BX_n|P^{-1}X_1|\hdots|P^{-1}X_n)=\left(E_1|\hdots|E_{n}|E_{n+1}|\hdots|E_{2n}|E_{2n+1}|\hdots|E_{3n}\right), \] d'où : \[ \begin{array}{rcl} P^{-1}BP&=&(0_{3n,1}|\hdots|0_{3n,1}|P^{-1}B^2X_1|\hdots|P^{-1}B^2X_n|P^{-1}BX_1|\hdots|P^{-1}BX_n) \\ &=&(0_{3n,1}|\hdots|0_{3n,1}|E_{1}|\hdots|E_n|E_{n+1}|\hdots|E_{2n}) \\ &=&\begin{pmatrix} 0_n & I_n & 0_n \\ 0_n & 0_n & I_n \\ 0_n & 0_n & 0_n \end{pmatrix} \\ P^{-1}BP&=&A. \end{array} \] Par suite, $A$ et $B$ sont semblables.
Exercice #269
Exercice de base
Détails de l'exercice #269
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.
Exercice #270
Exercice de base
Détails de l'exercice #270
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -6&4&4 \\ -4&2&4 \\ -4&4&2 \end{pmatrix}$. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.
Exercice #271
Exercice de base
Détails de l'exercice #271
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -3&2&3 \\ 2&-2&2 \\ -7&6&3 \end{pmatrix}$. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.
Exercice #272
Exercice de base
Détails de l'exercice #272
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 1&1&-1 \\ 2&0&-3 \\ -1&1&1 \end{pmatrix}$. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$ vue comme appartenant à $M_3(\mathbb{R})$ puis à $M_3(\mathbb{C})$.
Exercice #273
Exercice de base
Détails de l'exercice #273
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -1+2i&1&1-2i \\ 2i&0&-1-2i \\ -1&1&1 \end{pmatrix}$. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.
Exercice #265
Exercice de base
Détails de l'exercice #265
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère $E=\{u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \; | \; \lim u = 0\}$. On note $\varphi$ l'application définie, pour $u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in E$, par $\varphi(u)=(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où, pour $n \in \mathbb{N}$ :\[ v_n=u_{n+1}-u_n. \]
  1. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.
  2. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $\varphi$.

Exercice #266
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #266
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soirt $E=C([0,1],\mathbb{R})$. On définie, pour $f \in E$, la fonction $\varphi(f):[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ par :\[ \varphi(f)(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{x}\int_0^x f(t)\text{d}t & \text{ si }x \in ]0,1] \\ \\ f(0)&\text{ sinon.} \end{cases} \]
  1. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.
  2. Déterminer les valeurs propres de $\varphi$.

Exercice #267
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #267
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $A_n=(a_{ij})_{1\leqslant i,j \leqslant n } \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice telle que, pour $i,j \in \;[\!\!\![\; 1,n\;]\!\!\!]\;$ :\[ a_{i,j}=\begin{cases} 1&\text{ si }i=j+1\text{ ou }j=i+1 \\ 0&\text{ sinon } \end{cases} \]et on note $\chi_n$ le polynôme caractéristique de $A_n$ i.e. $\chi_n(X)=\text{det}(XI_n-A_n)$.
  1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que, pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, \[ \chi_{n+2}(\lambda)=\lambda \chi_{n+1}(\lambda)-\chi_n(\lambda) \]
  2. On pose, pour $\theta \in ]0,\pi[$, $\lambda=2\cos(\theta)$. Montrer que \[ \chi_n(\lambda)=\frac{\sin\left((n+1)\theta\right)}{\sin(\theta)} \]
  3. En déduire le spectre de $A_n$ puis que $A_n$ est diagonalisable.

Exercice #268
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #268
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit un entier $n \geqslant 2$ et $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ tel que $\text{rg}(f)=2$. Exprimer le polynôme caractéristique de $f$ en fonction de $\text{Tr}(f)$ et $\text{Tr}(f^2)$.
Exercice #295
Exercice de base
Détails de l'exercice #295
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.
Exercice #296
Exercice de base
Détails de l'exercice #296
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 1&-1&3 \\ -2&2&3 \\ 2&1&0 \end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.
Exercice #297
Exercice de base
Détails de l'exercice #297
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 4&-1&-3 \\ 1&2&-3 \\ -1&1&6 \end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.
Exercice #298
Exercice de base
Détails de l'exercice #298
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ 6&-5&2 \\ -3&1&-4 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #299
Exercice de base
Détails de l'exercice #299
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 3&-4&-5 \\ 6&-8&-6 \\ -7&8&5 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #300
Exercice de base
Détails de l'exercice #300
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \\ 1&0&1 \\ 1&-1&0 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #301
Exercice de base
Détails de l'exercice #301
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 4&1&0 \\ 0&2&-1 \\ 1&1&3 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #302
Exercice de base
Détails de l'exercice #302
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $A=\begin{pmatrix} 1+a&1+a&1 \\ -a&-a&-1 \\ a&a-1&0 \end{pmatrix}$.
  1. Pour quelles valeurs de $a$ la matrice $A$ est-elle trigonalisable ? diagonalisable ?
  2. Effectuer la trigonalisation/diagonalisation selon les valeurs de $a$ déterminée à la question précédente.

Exercice #303
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #303
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$ et $x,y \in \mathbb{C}^*$ tels que $y\neq \pm x$. On considère la matrice : \[ A=\begin{pmatrix} x & y& x& \dots &y &x &y \\ y & x&y & \dots & x& y&x \\ x & y&x & \dots &y &x &y \\ \vdots&\vdots&\vdots& \ddots &\vdots&\vdots&\vdots \\ y & x& y& \dots &x &y &x \\ x & y&x & \dots &y &x &y \\ y & x&y & \dots &x &y &x \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C}). \]Montrer que $A$ est diagonalisable.
Exercice #304
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #304
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $E$ une espace vectoriel de dimension $n$ sur $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ de rang $1$. Montrer que $u$ est diagonalisable si, et seulement si, $\text{Tr}(u)\neq 0$.
Exercice #328
Exercice de base
Détails de l'exercice #328
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$.
Exercice #329
Exercice de base
Détails de l'exercice #329
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} 4&-1&-3 \\ 1&2&-3 \\ -1&1&6 \end{pmatrix}$.
Exercice #330
Exercice de base
Détails de l'exercice #330
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ 6&-5&2 \\ -3&1&-4 \end{pmatrix}$.
Exercice #309
Exercice de base
Détails de l'exercice #309
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Déterminer toutes les matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que :\[ \begin{cases} \text{Tr}(A)=0 \\ A^3-6A^2+9A=0_n \end{cases} \]
Exercice #311
Exercice de base
Détails de l'exercice #311
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A \in \mathcal{M}(\mathbb{K})$ telle que $A^2$ est diagonalisable.
  1. Si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ et $A$ inversible; montrer que $A$ est diagonalisable.
  2. Si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ et $A$ non inversible, $A$ est-elle diagonalisable ?
  3. Si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ et $A$ inversible, $A$ est-elle diagonalisable ?

Exercice #312
Exercice de base
Détails de l'exercice #312
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de rang $1$. Montrer que $u$ est diagonalisable si, et seulement si, $\text{Im}(u) \not \subset \text{Ker}(u)$.
Exercice #310
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #310
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $A,N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telles que $N$ est nilpotente et $A,N$ commutent. Montrer que :\[ \text{det}(A+N)=\text{det}(A) \]On pourra commencer par étudier le cas $A \in \text{GL}_n(\mathbb{K})$.
Exercice #264
Exercice de base
Détails de l'exercice #264
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $f,p \in \mathcal{L}(E)$ avec $p$ projecteur. Montrer que $f$ et $p$ commutent si, et seulement si, $\text{Ker}(p)$ et $\text{Im}(p)$ sont stables par $f$.
Exercice #263
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #263
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère l'endomorphisme $\Delta: \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R}[X]$ tel que, pour $P \in \mathbb{R}[X]$, $\Delta(P)=P'$. Montrer qu'il n'existe pas d'endomorphisme $\delta$ de $\mathbb{R}[X]$ tel que $\delta^2=\Delta$.
Exercice #391
Exercice de base
Détails de l'exercice #391
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
On considère la matrice suivante :\[ A=\begin{pmatrix} 3&3 \\ 0&3 \end{pmatrix}. \]Montrer que $A$ est inversible puis calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{Z}$.
Exercice #392
Exercice de base
Détails de l'exercice #392
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Montrer que la matrice $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[ A=\begin{pmatrix} -1&1&-1 \\ 1&2&0 \\ 2&2&1 \end{pmatrix}. \]
Exercice #393
Exercice de base
Détails de l'exercice #393
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Trouver toutes les matrices colonnes $X \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ telle que $AX=2X$, où :\[ A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ -2&1&1 \\ -4&-2&4 \end{pmatrix}. \]De même pour $AX=X$.
Exercice #395
Exercice de base
Détails de l'exercice #395
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A,B,C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ des matrices non nulles telles que $ABC=O_n$. Montrer qu'au moins deux matrices parmi $A,B,C$ ne sont pas inversibles.
Exercice #398
Exercice de base
Détails de l'exercice #398
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit une matrice symétrique.
Exercice #502
Exercice de base
Détails de l'exercice #502
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Montrer que $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[ A=\begin{pmatrix} 0&1&1 \\ 1&0&1 \\ 1&1&1 \end{pmatrix}. \]
Exercice #503
Exercice de base
Détails de l'exercice #503
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Montrer que $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[ A=\begin{pmatrix} 2&1&-2 \\ -1&0&1 \\ -2&1&0 \end{pmatrix}. \]
Exercice #394
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #394
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère la matrice $ A= \begin{pmatrix} 1 &... & ... &1 \\ 0 &\ddots& &\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\ 0 &... &0 &1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
  1. Montrer que $A$ est inversible puis déterminer son inverse.
  2. Déterminer $A^{-k}$ pour $k \in \mathbb{N}$.
  3. Conjecturer la valeur des coefficients de $A^{k}$ pour $k \in \mathbb{N}$ puis démontrer cette conjecture.
Exercice #397
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #397
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que la matrice $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[ A= \begin{pmatrix} 1 &2 &3 & ... &n \\ 0 &\ddots&\ddots&\ddots&\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&3 \\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&2 \\ 0 &... &... &0 &1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).\]
Exercice #577
Exercice de base
Détails de l'exercice #577
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$ et $a,b \in \mathbb{C}$. Calculer le déterminant de taille $n \times n$ suivant : \[ \begin{vmatrix} a &b &\hdots&\hdots&b \\ b &a &\ddots& &\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots \\ \vdots& &\ddots&a &b \\ b &\hdots&\hdots&b &a \end{vmatrix} \]
Exercice #578
Exercice de base
Détails de l'exercice #578
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{C}$. On considère le déterminant de taille $(n+1) \times (n+1)$ suivant : \[ \Delta_n(x)=\begin{vmatrix} 1 &1 &\hdots&\hdots &1 \\ 1 &1-x &\ddots& &\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots &\vdots \\ \vdots& &\ddots&(n-1)-x&1 \\ 1 &\hdots&\hdots&1 &n-x \end{vmatrix} \]Calculer $\Delta_n(x)$ de deux manières différentes : l'une en utilisant des opérations sur les lignes et/ou colonnes; l'autre en étudiant les zéros de la fonction $x \mapsto \Delta_n(x)$.
Exercice #496
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #496
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Soit $M,A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$
  1. Montrer que si, pour tout $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$,\[ \text{det}(M+N)=\text{det}(N), \]alors $M=0_n$.
  2. En déduire que si, pour tout $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $\text{det}(A+C)=\text{det}(B+C)$ alors $A=B$.
Exercice #493
Exercice de base
Détails de l'exercice #493
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$ et $\mathcal{B}'=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ la famille de vecteurs de $\mathbb{R}^3$ définie par :\[ \varepsilon_1=e_1+e_2-2e_3\,; \quad \varepsilon_2=e_1-2e_3\,; \quad \varepsilon_3=e_1-e_2\,. \]
  1. Montrer que $\mathcal{B}'$ est une base de $\mathbb{R}^3$.
  2. Déterminer la matrice $P$ de passage de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ puis la matrice $Q$ de passage de $\mathcal{B}'$ vers $\mathcal{B}$.
Exercice #514
Exercice de base
Détails de l'exercice #514
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Montrer que le sous-ensemble suivant est un sous-espace affine de $\mathbb{R}^3$ :\[ \mathcal{F}=\left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; \begin{cases} x+y+z=3 \\ 3x+y+z = 5 \end{cases} \right\} \]
Exercice #515
Exercice de base
Détails de l'exercice #515
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que le sous-ensemble suivant est un sous-espace affine de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ :\[ \mathcal{F}=\{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \; | \; \text{tr}(A)=n \}. \]
Exercice #516
Exercice de base
Détails de l'exercice #516
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Montrer que le sous-ensemble suivant est un sous-espace affine de $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ :\[ \mathcal{F}=\{f \in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}) \; | \; f(0)=1 \text{ et }f(1)=-1\} \]
Exercice #517
Exercice de base
Détails de l'exercice #517
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Montrer que le sous-ensemble suivant est un sous-espace affine de $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ :\[ \mathcal{F}=\left\{f \in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}) \; | \; \forall \; k \in \mathbb{N}, \; f^{(k)}(0) = \begin{cases} (-1)^p &\text{ si }k=2p \text{ pair avec }p\in \mathbb{N} \\ 0&\text{ si }k\text{ impair} \end{cases} \right\}. \]
Exercice #518
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #518
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que le sous-ensemble suivant est un sous-espace affine de $\mathbb{R}[X]$ :\[ \mathcal{F}=\{P \in \mathbb{R}[X] \; | \; \forall k \in \;[\!\!\![\; 0, n \;]\!\!\!]\;, \;P(k)=e^k\}. \]
Exercice #467
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #467
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $a_1,a_2,a_3 \in \mathbb{R}$. On note $f_i:x \mapsto \sin(x+a_i)$ pour $i=1,2,3$.
  • La famille $(f_1,f_2)$ est-elle libre ?
  • La famille $(f_1,f_2,f_3)$ est-elle libre ?
On discutera de ces questions suivants les valeurs de $a_1,a_2,a_3$.
Exercice #465
Exercice de base
Détails de l'exercice #465
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $F=\{f \in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R}) \; | \; f(0)=0 \text{ et }f'(0)=0\}$.
  1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
  2. Déterminer un sous-espace supplémentaire de $F$ dans $C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice #468
Exercice de base
Détails de l'exercice #468
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
On considère les sous-espaces vectoriels $F=\text{Vect}(1,1,1)$ et $G=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; x+y+z=0 \}$ de $\mathbb{R}^3$. Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}^3$.
Exercice #466
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #466
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On pose $G=\{f \in C(\mathbb{R},\mathbb{R}) \; | \; f(k)=0 \text{ pour tout }k \in \;[\!\!\![\; 1,n\;]\!\!\!]\;\}$.
  1. Montrer que $G$ est un sous-espace vectoriel de $C(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
  2. Déterminer un sous-espace supplémentaire de $G$ dans $C(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice #470
Exercice de base
Détails de l'exercice #470
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Les applications suivantes sont-elles linéaires :
  1. $f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \text{ telles que }f:(x,y,z)\mapsto x+2y-z$.
  2. $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \text{ telles que }f:(x,y)\mapsto x+2y+2$.
  3. $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \text{ telles que }f:(x,y)\mapsto x^2-y^2$.
  4. $f:\mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R}[X] \text{ telles que }f:P\mapsto XP(X+1)$.
Exercice #471
Exercice de base
Détails de l'exercice #471
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
On note $E=C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ et $F=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. Soit $\varphi:E\rightarrow F$ l'application définie, pour $f \in E$, par $\varphi(f)=f''-3f'+2f$.
Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$ et déterminer son noyau.
Exercice #4 Forme linéaire et fonctions affines
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #4
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Source : M. Arnt
Énoncé
Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$. On pose $\varphi:E\rightarrow \mathbb{R}$ telle que, pour tout $f\in E$ :\[ \varphi(f)=\int_0^1f(t) dt; \]et on note $F=\{f \in E \; | \; f \text{ est affine }\}$ (on rappelle qu'une fonction $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est affine s'il existe $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $f:t\mapsto at+b$).
  1. Montrer que $\varphi$ est une application linéaire surjective.
  2. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  3. Montrer qu'il existe $c \in [0,1]$ tel que $F\cap \text{Ker}(\varphi)=\{f \in F \; | \; f(c)=0\}$.
Indications
  1. Pour la linéarité, utiliser la linéarité de l'intégrale.
    Pour la surjectivité, que sait-on d'une forme linéaire non nulle ?
  2. Utiliser la définition/caractérisation des sous-espaces vectoriels;
    ou bien montrer que $F$ est le sous-espace engendré par plusieurs fonctions de $E$ bien choisies.
  3. Dessiner des graphes de fonctions affines d'intégrale nulle sur $[0,1]$.
Correction
  1. Soit $f,g \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. On a, par linéarité de l'intégrale : \[ \begin{array}{rcl} \varphi(\lambda f+g) &=& \displaystyle\int_0^1 (\lambda f+g)(t) dt \medskip \\ &=& \displaystyle \int_0^1 (\lambda f(t)+g(t)) dt \medskip \\ &=& \displaystyle \lambda\int_0^1f(t) dt + \int_0^1g(t) dt \medskip \\ \varphi(\lambda f+g) &=& \lambda\varphi(f)+\varphi(g). \end{array} \] Donc $\varphi$ est linéaire.
    Il s'agit donc d'une forme linéaire sur $E$; or $\varphi(f_0)=1\neq 0$ pour $f_0:x \mapsto 1$, par suite, $\varphi$ est surjective car toute forme linéaire non nulle est surjective.
    • 1ère façon : caractérisation d'un sous-espace vectoriel.
      Le vecteur nul de $E$ est la fonction nulle $\mathbf{0}$ sur $[0,1]$. Or $\mathbf{0}:t \mapsto 0=0\times t +0$ donc $\mathbf{0}$ est affine i.e. $\mathbf{0} \in F$.
      Soit $f,g \in F$ et $\lambda \in R$. Alors $f$ et $g$ étant affines, il existe $a,b,a',b' \in \mathbb{R}$ tels que $f:t\mapsto at+b$ et $g:t\mapsto a't+b'$ On a, pour tout $t \in [0,1]$ : \[ \begin{array}{rcl} (\lambda f+g)(t) &=& \lambda f(t) +g(t) \medskip \\ &=& \lambda (at+b)+ (a't+b') \medskip \\ (\lambda f+g)(t)&=& (\lambda a+a')t+(\lambda b +b') \end{array} \] Par suite, comme $(\lambda a+a') \in \mathbb{R}$ et $(\lambda b+b') \in \mathbb{R}$, $\lambda f+g$ est affine et donc $\lambda f+g \in E$.
      Il en résulte que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
    • 2ème façon : sous-espace engendré. On sait que $f$ est une fonction affine si, et seulement si, il existe $a,b$ tel que $f:t \mapsto at+b$. Ainsi, $f$ est affine si, et seulement si, $f=af_1+bf_0$ où $f_0:t \mapsto 1$ et $f_1:t \mapsto t$.
      Par suite, $F=\text{Vect}(f_0,f_1)$ (où on note par le même nom les restrictions de $f_0$ et $f_1$ à $[0,1]$). Un sous-espace engendré par une famille de vecteurs de $E$ étant un sous-espace vectoriel de $E$, on en déduit que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  2. En dessinant quelques graphes, on conjecture que $c=\frac{1}{2}$. Montrons le :

    On procède par double inclusion :
    Soit $f \in F\cap \text{Ker}(\varphi)$. Alors $f \in F$ et $f \in \text{Ker}(\varphi)$ donc il existe $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $f: t \mapsto at+b$ et $\int_0^1f(t) dt=\varphi(f)=0$. Par suite, on a : \[ 0=\int_0^1f(t) dt= \int_0^1(at+b) dt = \frac{1}{2}a+b \] d'où $b=-\frac{1}{2}a$ et donc, pour tout $t \in [0,1]$, $f(t)=a(x-\frac{1}{2})$.
    Ainsi, $f(\frac{1}{2})=a(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})=0$.
    Donc $F\cap \text{Ker}(\varphi)\subset \{f \in F \; | \; f(\frac{1}{2})=0\}$.


    Réciproquement, si $f \in \{f \in F \; | \; f(\frac{1}{2})=0\}$. Alors $f$ est affine et donc il existe $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $f: t \mapsto at+b$. Comme $a\frac{1}{2}+b=0=f(\frac{1}{2})$, on a $b=-\frac{1}{2}a$ et donc : \[ \int_0^1f(t) dt = \int_0^1a(x-\frac{1}{2}) dt=a(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})=0 \] Donc $f \in F \cap \text{Ker}(\varphi)$; d'où $\{f \in F \; | \; f(\frac{1}{2})=0\} \subset \text{Ker}(\varphi)$.


    Il en résulte que $F\cap \text{Ker}(\varphi)= \{f \in F \; | \; f(\frac{1}{2})=0\}$.
Exercice #475
Exercice de base
Détails de l'exercice #475
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ et $p,q$ des projecteurs de $E$ qui commutent. Montrer que $p\circ q$ est un projecteur puis déterminer son noyau et son image en fonction de ceux de $p$ et $q$.
Exercice #473
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #473
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ et $p,q \in \mathcal{L}(E)$.
  1. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
    • $p \circ q = p$ et $q \circ p = q$.
    • $p$ et $q$ sont des projecteurs de même noyau.
  2. Déterminer une condition nécessaire et suffissante pour que $p$ et $q$ soient des projecteurs de même image.
Exercice #480
Exercice de base
Détails de l'exercice #480
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $H$ un hyperplan d'un espace vectoriel $E$ et $x_0 \in E$. Montrer que $x_0 \notin H$ si, et seulement si, $H$ et $\text{Vect}(x_0)$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice #481
Exercice de base
Détails de l'exercice #481
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$ et $x_0,...,x_n$ des réels tous distincts. Montrer que l'application $f:\mathbb{R}_n[X]\rightarrow \mathbb{R}^{n+1}$ définie, pour $P \in \mathbb{R}_n[X]$, par :\[ f(P)=(P(x_0),...,P(x_n)) \]est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Exercice #482
Exercice de base
Détails de l'exercice #482
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f,g \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que si $f+g$ est bijectif et $g\circ f = \mathbf{0}$ alors $\text{rg}(f)+\text{rg}(g)=\text{dim}(E)$.
Exercice #483
Exercice de base
Détails de l'exercice #483
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f \in \mathcal{L}(E)$. On suppose que $\text{rg}(f^2)=\text{rg}(f)$.
  1. Montrer que $\text{Im}(f^2)=\text{Im}(f)$ et $\text{Ker}(f^2)=\text{Ker}(f)$.
  2. En déduire que $\text{Im}(f)$ et $\text{Ker}(f)$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice #492
Exercice de base
Détails de l'exercice #492
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$, $\mathcal{B}'=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ la famille de vecteurs de $\mathbb{R}_3$ définie par :\[ \varepsilon_1=e_1+e_2-e_3; \quad \varepsilon_2=e_1-e_3; \quad \varepsilon_3=e_1-e_2 \]On note $A=\begin{pmatrix} 2&-1&0 \\ -2&1&-2 \\ 1&1&3 \end{pmatrix}$ et on considère $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ canoniquement associé à $A$.
  1. Montrer que $\mathcal{B}'$ est une base de $\mathbb{R}^3$ et déterminer la matrice $P$ de passage de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ puis la matrice $Q$ de passage de $\mathcal{B}'$ vers $\mathcal{B}$.
  2. Déterminer $\text{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$.
  3. Calculer $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Exercice #498
Exercice de base
Détails de l'exercice #498
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n\in \mathbb{N}^*$, $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^n=\mathbf{0}$ et $f^{n-1}\neq\mathbf{0}$.
Montrer qu'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que :\[ \text{Mat}_{\mathcal{B}}(f)=\begin{pmatrix} 0 &1 & &0 \\ \vdots&\ddots&\ddots& \\ \vdots& &\ddots&1 \\ 0 &\dots &\dots &0 \end{pmatrix} \]
Exercice #499
Exercice de base
Détails de l'exercice #499
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer la matrice dans les bases canoniques des espaces de départ et d'arrivée de l'application linéaire $f: \mathbb{R}_4[X] \rightarrow \mathbb{R}_4[X]$ telle que, pour $P \in \mathbb{R}_4[X]$ :\[ f(P)=P(X+2). \]
Exercice #500
Exercice de base
Détails de l'exercice #500
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer la matrice dans les bases canoniques des espaces de départ et d'arrivée de l'application linéaire $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4$ telle que, pour $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ :\[ f(x,y,z)=(x+y,y-4z,z-x,x-2y-z). \]
Exercice #501
Exercice de base
Détails de l'exercice #501
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer la matrice dans les bases canoniques des espaces de départ et d'arrivée de l'application linéaire $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ telle que, pour $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ :\[ f(x,y,z)=(2x+y,y-x+3z) \]
Exercice #494
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #494
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de rang $1$.
  1. Montrer que $f^2=\text{Tr}(f).f$.
  2. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit un projecteur.
Exercice #463
Exercice de base
Détails de l'exercice #463
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $P_1=X^2+2$, $P_2=X^2+2X-1$ et $P_3=X^2+2X$. Montrer que la famille $(P_1,P_2,P_3)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$.
Exercice #476
Exercice de base
Détails de l'exercice #476
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
On considère la famille $\mathcal{F}=(e_1,e_2,e_3)$ de $\mathbb{R}^3$ où $e_1=(1,1,0)$, $e_2=(1,1,1)$ et $e_3=(0,1,1)$. Montrer que $\mathcal{F}$ est une base de $\mathbb{R}^3$.
Exercice #464
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #464
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour $k \in \;[\!\!\![\; 0,n \;]\!\!\!]\;$, on pose $P_k=X^k(X-1)^{n-k}$.
Montrer que la famille $(P_0,...,P_n)$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$.
Exercice #478
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #478
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $E$ une espace vectoriel de dimension $n$ et $(e_1,...,e_n)$, $(\varepsilon_1,...,\varepsilon_n)$ des bases d'un espace vectoriel $E$. Montrer qu'il existe $i \in \;[\!\!\![\; 1,n \;]\!\!\!]\;$ tel que $(e_1,...,e_{n-1},\varepsilon_i)$ est une base de $E$.
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