On considère une machine qui envoie un signal toutes les secondes. Ce signal est un bit : soit $0$, soit $1$. Si elle renvoie un bit à une seconde donnée, la probabilité qu'elle renvoie de nouveau la même bit la seconde suivante est de $0,2$.
Au temps $t=0$, la machine renvoie $0$ avec probabilité $z_0 \in [0,1]$.

1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Quelle est la probabilité que la machine renvoie $0$ à la $n$-ième seconde en fonction de $z_0$ et de $n$ ?
2. Que dire de cette probabilité quand $n$ tend vers l'infini ?

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $p \in ]0,1[$. On considère $n$ individus numérotés de $1$ à $n$ qui se transmettent une information binaire; disons "oui" ou "non".
Chaque individu de numéro $k < n$ transmet l'information qu'il a reçu à l'individu $k+1$ avec probabilité $p$ et transmet son contraire avec probabilité $1-p$. Les transmissions sont indépendantes les unes des autres.

1. Déterminer la probabilité $p_n$ que l'information reçue par l'individu numéro $n$ soit la même que celle émise par l'individu numéro $1$.
2. Déterminer la limite de la suite $(p_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On pose $\Omega=\;[\!\!\![\; 1,n \;]\!\!\!]\;$. Déterminer une probabilité $P$ sur $\Omega$ telle que, pour $k \in \;[\!\!\![\; 1,n \;]\!\!\!]\;$ :

1. $P(\{k\})$ est proportionnelle à $k$.
2. $P(\{1,...,k\})$ est proportionnelle à $k^2$.

Les deux questions sont indépendantes !

La M.D.J. (Mathématicienne des Jeux) vient de mettre en circulation son nouveau jeu à gratter et son principe est le suivant :
Sur chaque ticket, on peut découvrir, après l'avoir gratté consciencieusement, une grille $3\times 3$ dans laquelle sont placés aléatoirement${}^*$ chacun des chiffres de $1$ à $9$.
Le ticket rapporte $10$€ à son gratteur si le déterminant de la matrice correspondant à la grille est impair et ne rapporte rien s'il est pair.
Le coût moyen d'édition/distribution d'un ticket est de $0,10$€ et le prix de vente d'un ticket est de $6$€.
La M.D.J. va-t-elle faire des bénéfices sur la vente de ces tickets sur le long terme ?

${}^*$ Par aléatoirement, on entend - il s'agit de la méthode de tirage secrète de la M.D.J. que nous dévoilons ici - que l'on effectue le tirage d'une permutation $\sigma$ uniformément dans $\mathcal{S}_9$; on repère les cases de la grille lignes par lignes en partant du haut et de gauche à droite dans chaque ligne par le chiffres de $1$ à $9$ puis enfin on remplit chaque case repérée par $i \in \{1,...,9\}$ par le chiffre $\sigma(i)$.

Soit $N\in \mathbb{N}$ et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\;[\!\!\![\; 0,N\;]\!\!\!]\;$. Montrer que :\[ E(X)=\sum_{n=0}^{N-1}P(X> n). \]

On lance deux dés équilibrés à six faces et obtient deux nombres entre $1$ et $6$. On note $X$ leur somme, $Y$ leur maximum et $Z$ leur minimum.

1. Déterminer les lois de $X$ et de $Y$.
2. Calculer leurs espérances respectives.
3. En déduire l'espérance de $Z$.

Soit $X,Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans des ensembles finis. Montrer que si, pour tout $k \in \mathbb{N}$, $E(X^k)=E(Y^k)$ alors $X$ et $Y$ suivent les mêmes lois.

Soit $X,Y$ des variables aléatoires à valeurs dans un ensemble fini. On pose $S=X+Y$ et $D=X-Y$. Déterminer la covariance $\text{cov}(S,D)$ entre $S$ et $D$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $p \in ]0,1[$. Si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, quelle est la loi de la variable aléatoire $Y=n-X$ ?

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur $\;[\!\!\![\; 1,36\;]\!\!\!]\;$. Déterminer la loi de $\displaystyle Y=\left\lfloor \sqrt{X}\right\rfloor$.

On lance deux dés équilibrés à six faces et obtient deux nombres entre $1$ et $6$. On note $X$ leur somme, $Y$ leur maximum et $Z$ leur minimum.

1. Déterminer les lois de $X$ et de $Y$.
2. Calculer leurs espérances respectives.
3. En déduire l'espérance de $Z$.

Soit $Z=(X,Y)$ un couple de variables aléatoires dont la loi est la suivante :\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline z &(0,0)&(0,1)&(0,2)&(1,0)&(1,1)&(1,2) \\ \hline P(Z=z)&1/8 &1/8 & 1/6 &1/6 & 1/4 & 1/6 \\ \hline \end{array} \]

1. Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi conjointe puis déterminer les ensembles dans lesquels $X$ et $Y$ prennent (presque sûrement) leurs valeurs.
2. Déterminer les probabilités $P(X=Y)$, $P(X> Y)$ et $P(X< Y)$.
3. Déterminer les lois marginales de $X$ et $Y$.
4. Déterminer les lois de $X+Y$ et $\max(X,Y)$.

Dans une usine de fabrication de pièces de puzzle, trois machines automatisées désignées par $M_1$, $M_2$ et $M_3$ produisent respectivement $75$%, $15$% et $10$% du total des pièces fabriquées par l'usine. Les pourcentages de pièces défectueuses sont de $1$% pour $M_1$, $3$% pour $M_2$ et $6$% pour $M_3$.
Une pièce de puzzle prise au hasard dans la production est défectueuse. Avec quelle probabilité a-t-elle été fabriquée par la machine $M_1$ ?

On dispose de six dés classiques à six faces mais l'un d'entre eux est pipé : il tombe sur la face numérotée $1$ avec probabilité $\frac{5}{6}$ et les autres faces ont même probabilité d'être obtenue. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On choisit au hasard (uniformément) un dé parmi les six, on le lance $2n$ fois et on obtient $n$ fois la face $1$. Avec quelle probabilité le dé choisi est-il pipé ?

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On lance $n$ fois un dé à $6$ faces équilibré. Déterminer la probabilité d'obtenir :

1. au moins une fois la face $1$.
2. Soit $i \in \;[\!\!\![\; 0,n \;]\!\!\!]\;$.
   1. exactement $i$ fois la face $1$.
   2. au moins $i$ fois la face $1$.

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes à valeurs dans $\mathbb{N}$ dont la loi conjointe est donnée, pour $n,m \in \mathbb{N}$, par :\[ P(X=n,Y=m)=a\frac{1}{n!m!}\text{ où }a \in \mathbb{R}. \]

1. Déterminer la valeur de $a$.
2. Déterminer les lois marginales du couple $(X,Y)$.
3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes à valeurs dans $\mathbb{N}$ dont la loi conjointe est donnée, pour $n,m \in \mathbb{N}$, par :\[ P(X=n,Y=m)=a\frac{n+m}{2^{n+m}}\text{ où }a \in \mathbb{R}. \]

1. Déterminer la valeur de $a$.
2. Déterminer les lois marginales du couple $(X,Y)$.
3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
4. Déterminer $P(X=Y)$.

Soit $p \in ]0,1[$. Déterminer la loi d'une somme de deux variables aléatoires discrètes indépendantes qui suivent toutes deux une loi géométrique de paramètre $p$.

Soit $p,q \in ]0,1[$ et $X,Y$ des variables aléatoires discrètes suivant des lois géométriques de paramètres $p$ et $q$ respectivement. Déterminer $P(X < Y)$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $\lambda \in \mathbb{R}_+^*$ et $X$ une variable aléatoire discrète qui suit une de Poisson de paramètre $\lambda$. On pose $\displaystyle X_n = \prod_{i=0}^{n-1}(X-i)$. Montrer que $X_n$ est d'espérance finie et calculer son espérance.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $p \in ]0,1[$ et $X$ une variable aléatoire discrète qui suit une loi géométrique de paramètre $p$. On pose $\displaystyle X_n = \prod_{i=0}^{n-1}\frac{1}{X+i}$.

1. Montrer que $X_n$ est d'espérance finie.
2. Calculer les espérances de $X_1$ et $X_2$.

Soit $X$ un variable aléatoire discrète à valeurs dans $\mathbb{N}$ et d'espérance finie. Montrer que : \[ P(X=n)=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(\frac{1}{n}\right). \]

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$, indépendantes et de même loi. Montrer que $\displaystyle E\left(\frac{X}{Y}\right) \geqslant 1$.

Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\mathbb{N}$.

1. On suppose que $X \in L^1$ i.e. $X$ est d'espérance finie. Montrer que $\sum P(X > n)$ converge et que : \[ E(X)=\sum_{n=0}^{+\infty}P(X > n). \]
2. On suppose que $X \in L^2$ i.e. $X$ admet un moment d'ordre $2$. Montrer que $\sum (2n+1)P(X > n)$ converge et que : \[ E(X^2)=\sum_{n=0}^{+\infty}(2n+1)P(X > n). \]

Soit $X,Y$ des variables aléatoires discrètes admettant un moment d'ordre $2$. On pose $S=X+Y$ et $D=X-Y$. Justifier l'existence et déterminer la covariance $\text{cov}(S,D)$ entre $S$ et $D$.

Soit $p \in ]0,1[$ et $r \in \mathbb{N}^*$. On considère une expérience aléatoire ayant une probabilité $p$ de succès. On note $X_r$ le nombre de répétitions mutuellement indépendantes de l'expérience jusqu'à obtenir $r$ succès (en tout, pas nécessairement successifs).

1. Déterminer la loi de $X_r$ puis déterminer sa fonction génératrice.
2. En déduire que $X_r \in L^2$ i.e. $X^r$ admet un moment d'ordre $2$ et calculer son espérance et sa variance.

Soit $s> 1$ et $\mathcal{P}$ l'ensemble des nombres premiers. On pose :\[ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}. \]

1. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $p_n=\frac{a}{n^s}$ où $a \in \mathbb{R}$. Pour quelle valeur de $a$ la suite $(p_n)_{h \in \mathbb{N}^*}$ définit-elle une loi de probabilité sur $(N^*,\mathcal{P}(\mathbb{N}^*))$ ? Dans la suite, on notera $P$ cette probabilité.
2. Pour $p \in \mathcal{P}$, on note $M_p = p\mathbb{N}^*$.
   1. Déterminer $P(M_p)$ pour $p \in \mathcal{P}$.
   2. Montrer que les évènements de la famille $(M_p)_{p \in \mathcal{P}}$ sont mutuellement indépendants pour la probabilité $P$.
3. Montrer que $\displaystyle \zeta(s)=\prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{1}{1-p^{s}}$.
4. En déduire que la famille des inverses des nombres premiers n'est pas sommable.