Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes à valeurs dans $\mathbb{N}$ dont la loi conjointe est donnée, pour $n,m \in \mathbb{N}$, par :\[ P(X=n,Y=m)=a\frac{1}{n!m!}\text{ où }a \in \mathbb{R}.\]

1. Déterminer la valeur de $a$.
2. Déterminer les lois marginales du couple $(X,Y)$.
3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes à valeurs dans $\mathbb{N}$ dont la loi conjointe est donnée, pour $n,m \in \mathbb{N}$, par :\[ P(X=n,Y=m)=a\frac{n+m}{2^{n+m}}\text{ où }a \in \mathbb{R}.\]

1. Déterminer la valeur de $a$.
2. Déterminer les lois marginales du couple $(X,Y)$.
3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
4. Déterminer $P(X=Y)$.

Soit $p \in ]0,1[$. Déterminer la loi d'une somme de deux variables aléatoires discrètes indépendantes qui suivent toutes deux une loi géométrique de paramètre $p$.

Soit $p,q \in ]0,1[$ et $X,Y$ des variables aléatoires discrètes suivant des lois géométriques de paramètres $p$ et $q$ respectivement. Déterminer $P(X < Y)$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $\lambda \in \mathbb{R}_+^*$ et $X$ une variable aléatoire discrète qui suit une de Poisson de paramètre $\lambda$. On pose $\displaystyle X_n = \prod_{i=0}^{n-1}(X-i)$. Montrer que $X_n$ est d'espérance finie et calculer son espérance.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $p \in ]0,1[$ et $X$ une variable aléatoire discrète qui suit une loi géométrique de paramètre $p$. On pose $\displaystyle X_n = \prod_{i=0}^{n-1}\frac{1}{X+i}$.

1. Montrer que $X_n$ est d'espérance finie.
2. Calculer les espérances de $X_1$ et $X_2$.

Soit $X$ un variable aléatoire discrète à valeurs dans $\mathbb{N}$ et d'espérance finie. Montrer que : \[ P(X=n)=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(\frac{1}{n}\right). \]

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$, indépendantes et de même loi. Montrer que $\displaystyle E\left(\frac{X}{Y}\right) \geqslant 1$.

Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\mathbb{N}$.

1. On suppose que $X \in L^1$ i.e. $X$ est d'espérance finie. Montrer que $\sum P(X > n)$ converge et que : \[ E(X)=\sum_{n=0}^{+\infty}P(X > n). \]
2. On suppose que $X \in L^2$ i.e. $X$ admet un moment d'ordre $2$. Montrer que $\sum (2n+1)P(X > n)$ converge et que : \[ E(X^2)=\sum_{n=0}^{+\infty}(2n+1)P(X > n). \]

Soit $p \in ]0,1[$ et $r \in \mathbb{N}^*$. On considère une expérience aléatoire ayant une probabilité $p$ de succès. On note $X_r$ le nombre de répétitions mutuellement indépendantes de l'expérience jusqu'à obtenir $r$ succès (en tout, pas nécessairement successifs).

1. Déterminer la loi de $X_r$ puis déterminer sa fonction génératrice.
2. En déduire que $X_r \in L^2$ i.e. $X^r$ admet un moment d'ordre $2$ et calculer son espérance et sa variance.

Soit $s>1$ et $\mathcal{P}$ l'ensemble des nombres premiers. On pose :\[ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}.\]

1. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $p_n=\frac{a}{n^s}$ où $a \in \mathbb{R}$. Pour quelle valeur de $a$ la suite $(p_n)_{h \in \mathbb{N}^*}$ définit-elle une loi de probabilité sur $(N^*,\mathcal{P}(\mathbb{N}^*))$ ? Dans la suite, on notera $P$ cette probabilité.
2. Pour $p \in \mathcal{P}$, on note $M_p = p\mathbb{N}^*$.
   1. Déterminer $P(M_p)$ pour $p \in \mathcal{P}$.
   2. Montrer que les évènements de la famille $(M_p)_{p \in \mathcal{P}}$ sont mutuellement indépendants pour la probabilité $P$.
3. Montrer que $\displaystyle \zeta(s)=\prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{1}{1-p^{s}}$.
4. En déduire que la famille des inverses des nombres premiers n'est pas sommable.