Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes à valeurs dans $\mathbb{N}$ dont la loi conjointe est donnée, pour $n,m \in \mathbb{N}$, par :\[ P(X=n,Y=m)=a\frac{1}{n!m!}\text{ où }a \in \mathbb{R}.\]

1. Déterminer la valeur de $a$.
2. Déterminer les lois marginales du couple $(X,Y)$.
3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes à valeurs dans $\mathbb{N}$ dont la loi conjointe est donnée, pour $n,m \in \mathbb{N}$, par :\[ P(X=n,Y=m)=a\frac{n+m}{2^{n+m}}\text{ où }a \in \mathbb{R}.\]

1. Déterminer la valeur de $a$.
2. Déterminer les lois marginales du couple $(X,Y)$.
3. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
4. Déterminer $P(X=Y)$.