Dans une usine de fabrication de pièces de puzzle, trois machines automatisées désignées par $M_1$, $M_2$ et $M_3$ produisent respectivement $75$%, $15$% et $10$% du total des pièces fabriquées par l'usine. Les pourcentages de pièces défectueuses sont de $1$% pour $M_1$, $3$% pour $M_2$ et $6$% pour $M_3$. Une pièce de puzzle prise au hasard dans la production est défectueuse. Avec quelle probabilité a-t-elle été fabriquée par la machine $M_1$ ?
On dispose de six dés classiques à six faces mais l'un d'entre eux est pipé : il tombe sur la face numérotée $1$ avec probabilité $\frac{5}{6}$ et les autres faces ont même probabilité d'être obtenue. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On choisit au hasard (uniformément) un dé parmi les six, on le lance $2n$ fois et on obtient $n$ fois la face $1$. Avec quelle probabilité le dé choisi est-il pipé ?