Soit $s>1$ et $\mathcal{P}$ l'ensemble des nombres premiers. On pose :\[ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}.\]

1. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $p_n=\frac{a}{n^s}$ où $a \in \mathbb{R}$. Pour quelle valeur de $a$ la suite $(p_n)_{h \in \mathbb{N}^*}$ définit-elle une loi de probabilité sur $(N^*,\mathcal{P}(\mathbb{N}^*))$ ? Dans la suite, on notera $P$ cette probabilité.
2. Pour $p \in \mathcal{P}$, on note $M_p = p\mathbb{N}^*$.
   1. Déterminer $P(M_p)$ pour $p \in \mathcal{P}$.
   2. Montrer que les évènements de la famille $(M_p)_{p \in \mathcal{P}}$ sont mutuellement indépendants pour la probabilité $P$.
3. Montrer que $\displaystyle \zeta(s)=\prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{1}{1-p^{s}}$.
4. En déduire que la famille des inverses des nombres premiers n'est pas sommable.