Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $\lambda \in \mathbb{R}_+^*$ et $X$ une variable aléatoire discrète qui suit une de Poisson de paramètre $\lambda$. On pose $\displaystyle X_n = \prod_{i=0}^{n-1}(X-i)$. Montrer que $X_n$ est d'espérance finie et calculer son espérance.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $p \in ]0,1[$ et $X$ une variable aléatoire discrète qui suit une loi géométrique de paramètre $p$. On pose $\displaystyle X_n = \prod_{i=0}^{n-1}\frac{1}{X+i}$.

1. Montrer que $X_n$ est d'espérance finie.
2. Calculer les espérances de $X_1$ et $X_2$.

Soit $X$ un variable aléatoire discrète à valeurs dans $\mathbb{N}$ et d'espérance finie. Montrer que : \[ P(X=n)=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(\frac{1}{n}\right). \]

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$, indépendantes et de même loi. Montrer que $\displaystyle E\left(\frac{X}{Y}\right) \geqslant 1$.

Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\mathbb{N}$.

1. On suppose que $X \in L^1$ i.e. $X$ est d'espérance finie. Montrer que $\sum P(X > n)$ converge et que : \[ E(X)=\sum_{n=0}^{+\infty}P(X > n). \]
2. On suppose que $X \in L^2$ i.e. $X$ admet un moment d'ordre $2$. Montrer que $\sum (2n+1)P(X > n)$ converge et que : \[ E(X^2)=\sum_{n=0}^{+\infty}(2n+1)P(X > n). \]