On appelle diagonale d’un polygone convexe un segment joignant deux de ses sommets non consécutifs. Quels sont les nombres de côtés possibles pour un polygone possédant autant de diagonales que de côtés ?
Une puce se déplace par sauts de $1$cm sur les intersections d'une grille carrée plane et infinie dont chaque arête est de longueur $1$cm. Soit $m \in \mathbb{N}^*$.
De combien de façons peut-elle effectuer $m$ bonds ?
Déterminer le nombre de façons telles que la puce reviennent à son point de départ après $m$ bonds.
Une sauterelle se trouve devant un escalier de $n$ marches où $n$ est un entier plus grand ou égal à $3$. Son but est de monter sur la dernière marche de l'escalier et elle ne peut monter qu'une ou deux marches à chacun de ses sauts (et elle ne redescend jamais !). Combien de possibilités, en fonction de $n$, la sauterelle a-t-elle d'atteindre son but ?
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère un cercle et on place $n$ points distincts non régulièrement espacés sur ce cercle de telle façon que lorsqu'on relie ces $n$ points entre eux par des segments, il n'y a pas d'intersection commune entre $3$ de ces segments à l'intérieur du disque inclus dans le cercle. Une fois tous les points reliés les uns aux autres par des segments, en combien de parties le disque délimité par le cercle est-il divisé ?
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère $n$ tiroirs et $n+1$ paires de chaussettes. On range toutes les paires de chaussettes dans les tiroirs. Montrer qu'il existe un tiroir contenant au moins deux paires de chaussettes.
Indications
Raisonner par l'absurde en supposant que tous les tiroirs contiennent au plus une paire de chaussette.
Correction
On suppose par l'absurde que tous les tiroirs contiennent au plus une paire de chaussette. On numérote de $1$ à $n$ les tiroirs, on note $c_i$ le nombre de paires dans le tiroir $i \in \;[\!\!\![\; 1, n\;]\!\!\!]\;$. Alors, par hypothèse, $c_i \leqslant 1$ et le nombre de paires de chaussettes vérifie donc :\[
n+1 = \sum_{i=1}^n c_i \leqslant \sum_{i=1}^n 1 = n
\]Contradiction ! Ainsi, il existe un tiroir contenant au moins deux paires de chaussettes.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
Indications
Raisonner par l'absurde puis obtenir une contradiction avec le fait que $\sqrt{2}$ est un irrationnel.
Correction
On suppose par l'absurde que $2n^2$ est le carré d'un entier. Alors il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $2n^2=m^2$. Comme $n \neq 0$, on a alors :\[
2=\frac{m^2}{n^2}\text{ et ainsi }\sqrt{2}=\frac{m}{n}.
\]Or, $n,m$ sont des entiers, donc $\sqrt{2}$ est un rationnel. Contradiction car $\sqrt{2}$ est irrationnel. Par suite, $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
On considère la relation binaire $\mathcal{R}$ sur $\mathbb{R}^*$ définie, pour $x,y \in \mathbb{R}^*$, par :\[
x\;\mathcal{R}\;y \text{ si, et seulement si, }\frac{x}{y}=\frac{y}{x}.
\]
Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb{R}^*$.
Pour $x \in \mathbb{R}^*$, déterminer la classe d'équivalence de $x$.
Soit $X$ un ensemble muni d'une relation d'ordre. On suppose que toute partie non vide de $X$ admet un plus petit et un plus grand élément. Montrer que $X$ est fini.
Soit $X$ un ensemble et $f:X\rightarrow X$ une application telle que $f\circ f\circ f =f$. Montrer que $f$ est injective si, et seulement si, $f$ est surjective.
Soit $X,Y$ des ensembles et $f:X\rightarrow Y$, $g : Y \rightarrow X$ des applications telles que $f\circ g \circ f$ est bijective. Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives.
On considère la fonction $f: \mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R}$ telle que pour $x \in \mathbb{R}_+^*$,\[
f(x)=\sin(\frac{\pi}{x}).
\]Déterminer $f(]0,1])$ et $f^{-1}(\{0\})$.