Exercices de la catégorie Logique et ensembles
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Logique et ensembles : liste des exercices
Exercice #75
Énoncé
Soit $X$ un ensemble et $A,B$ des parties de $X$. Montrer que :\[ A\subset B \Leftrightarrow A\cup B = B.\]
Exercice #66
Détails de l'exercice #66
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
En Mathématiques : Bac+1.
Mots clés associés :
raisonnement par l'absurde
raisonnement par l'absurde
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
Indications
Raisonner par l'absurde puis obtenir une contradiction avec le fait que $\sqrt{2}$ est un irrationnel.
Correction
On suppose par l'absurde que $2n^2$ est le carré d'un entier. Alors il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $2n^2=m^2$. Comme $n \neq 0$, on a alors :\[2=\frac{m^2}{n^2}\text{ et ainsi }\sqrt{2}=\frac{m}{n}.\]Or, $n,m$ sont des entiers, donc $\sqrt{2}$ est un rationnel.
Contradiction car $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Par suite, $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
Contradiction car $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Par suite, $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
Exercice #104
Énoncé
On considère la relation binaire $\mathcal{R}$ sur $\mathbb{R}^*$ définie, pour $x,y \in \mathbb{R}^*$, par :\[ x\;\mathcal{R}\;y \text{ si, et seulement si, }\frac{x}{y}=\frac{y}{x}.\]
- Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb{R}^*$.
- Pour $x \in \mathbb{R}^*$, déterminer la classe d'équivalence de $x$.
Exercice #107
Énoncé
Soit $X$ un ensemble muni d'une relation d'ordre.On suppose que toute partie non vide de $X$ admet un plus petit et un plus grand élément. Montrer que $X$ est fini.
Exercice #125
Énoncé
Soit $X,Y,Z$ des ensembles et $f:X \rightarrow Y$, $f:Y \rightarrow Z$ des applications.
- Montrer que si $g\circ f$ est injective, alors $f$ est injective.
- Montrer que si $g\circ f$ est surjective, alors $f$ est surjective.
Exercice #117
Énoncé
Soit $X$ un ensemble et $f:X\rightarrow X$ une application telle que $f\circ f\circ f =f$. Montrer que $f$ est injective si, et seulement si, $f$ est surjective.
Exercice #118
Énoncé
Soit $X,Y$ des ensembles et $f:X\rightarrow Y$, $g : Y \rightarrow X$ des applications telles que $f\circ g \circ f$ est bijective.
Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives.
Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives.
Exercice #121
Énoncé
On considère la fonction $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $x \in \mathbb{R}$, par $f(x)=e^{2x}+4e^x+2$.
- Déterminer l'image $\text{Im}(f)$ de la fonction $f$.
- Montrer que $f$ est bijective de $\mathbb{R}$ sur son image et déterminer sa fonction réciproque.
Exercice #123
Énoncé
On considère la fonction $f: \mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R}$ telle que pour $x \in \mathbb{R}_+^*$,\[ f(x)=\sin(\frac{\pi}{x}).\]Déterminer $f(]0,1])$ et $f^{-1}(\{0\})$.
Exercice #122
Énoncé
Soit $X$ un ensemble et $A,B \subset X$. Déterminer, dans chacun des cas suivants, un ensemble $C \subset X$ tel que $1\!\!1_C=$
a) $\min(1\!\!1_A,1\!\!1_B)$; $\quad$ b) $\max(1\!\!1_A,1\!\!1_B)$; $\quad$c) $1\!\!1_A\times 1\!\!1_B$;
d) $1\!\!1_X-1\!\!1_A$; $\quad$ e) $1\!\!1_A+1\!\!1_B-1\!\!1_A\times 1\!\!1_B$; $\quad$f) $(1\!\!1_A- 1\!\!1_B)^2$.
On rappelle que $1\!\!1_A:x \mapsto\begin{cases}1\text{ si }x \in A \\0\text{ si }x \notin A\end{cases}$ est la fonction indicatrice de $A$.
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