Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
Indications
Raisonner par l'absurde puis obtenir une contradiction avec le fait que $\sqrt{2}$ est un irrationnel.
Correction
On suppose par l'absurde que $2n^2$ est le carré d'un entier. Alors il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $2n^2=m^2$. Comme $n \neq 0$, on a alors :\[2=\frac{m^2}{n^2}\text{ et ainsi }\sqrt{2}=\frac{m}{n}.\]Or, $n,m$ sont des entiers, donc $\sqrt{2}$ est un rationnel. Contradiction car $\sqrt{2}$ est irrationnel. Par suite, $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.