Liste des exercices associés au mot-clé : raisonnement par l'absurde
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Exercice #66
Détails de l'exercice #66
Exercice enregistré par M. Arnt
Matière : Mathématiques
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
En Mathématiques : Bac+1.
Catégories :
En Mathématiques :
Logique et ensembles ⇐ Raisonnements de base ⇐ Raisonnement par l'absurde
En Mathématiques :
Logique et ensembles ⇐ Raisonnements de base ⇐ Raisonnement par l'absurde
Mots clés associés :
raisonnement par l'absurde
raisonnement par l'absurde
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
Indications
Raisonner par l'absurde puis obtenir une contradiction avec le fait que $\sqrt{2}$ est un irrationnel.
Correction
On suppose par l'absurde que $2n^2$ est le carré d'un entier. Alors il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $2n^2=m^2$. Comme $n \neq 0$, on a alors :
\[ 2=\frac{m^2}{n^2}\text{ et ainsi }\sqrt{2}=\frac{m}{n}. \]
Or, $n,m$ sont des entiers, donc $\sqrt{2}$ est un rationnel.
Contradiction car $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Par suite, $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
\[ 2=\frac{m^2}{n^2}\text{ et ainsi }\sqrt{2}=\frac{m}{n}. \]
Or, $n,m$ sont des entiers, donc $\sqrt{2}$ est un rationnel.
Contradiction car $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Par suite, $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
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