Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère $n$ tiroirs et $n+1$ paires de chaussettes. On range toutes les paires de chaussettes dans les tiroirs. Montrer qu'il existe un tiroir contenant au moins deux paires de chaussettes.
Indications
Raisonner par l'absurde en supposant que tous les tiroirs contiennent au plus une paire de chaussette.
Correction
On suppose par l'absurde que tous les tiroirs contiennent au plus une paire de chaussette. On numérote de $1$ à $n$ les tiroirs, on note $c_i$ le nombre de paires dans le tiroir $i \in \;[\!\!\![\; 1, n\;]\!\!\!]\;$. Alors, par hypothèse, $c_i \leqslant 1$ et le nombre de paires de chaussettes vérifie donc :\[
n+1 = \sum_{i=1}^n c_i \leqslant \sum_{i=1}^n 1 = n
\]Contradiction ! Ainsi, il existe un tiroir contenant au moins deux paires de chaussettes.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
Indications
Raisonner par l'absurde puis obtenir une contradiction avec le fait que $\sqrt{2}$ est un irrationnel.
Correction
On suppose par l'absurde que $2n^2$ est le carré d'un entier. Alors il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $2n^2=m^2$. Comme $n \neq 0$, on a alors :\[
2=\frac{m^2}{n^2}\text{ et ainsi }\sqrt{2}=\frac{m}{n}.
\]Or, $n,m$ sont des entiers, donc $\sqrt{2}$ est un rationnel. Contradiction car $\sqrt{2}$ est irrationnel. Par suite, $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.