Exercices de la catégorie Raisonnements de base
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Raisonnements de base : liste des exercices
Exercice #66
Détails de l'exercice #66
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
En Mathématiques : Bac+1.
Mots clés associés :
raisonnement par l'absurde
raisonnement par l'absurde
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
Indications
Raisonner par l'absurde puis obtenir une contradiction avec le fait que $\sqrt{2}$ est un irrationnel.
Correction
On suppose par l'absurde que $2n^2$ est le carré d'un entier. Alors il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $2n^2=m^2$. Comme $n \neq 0$, on a alors :\[2=\frac{m^2}{n^2}\text{ et ainsi }\sqrt{2}=\frac{m}{n}.\]Or, $n,m$ sont des entiers, donc $\sqrt{2}$ est un rationnel.
Contradiction car $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Par suite, $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
Contradiction car $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Par suite, $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
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