Soit $X,Y,Z$ des ensembles et $f:X \rightarrow Y$, $f:Y \rightarrow Z$ des applications.

1. Montrer que si $g\circ f$ est injective, alors $f$ est injective.
2. Montrer que si $g\circ f$ est surjective, alors $f$ est surjective.

Soit $X$ un ensemble et $f:X\rightarrow X$ une application telle que $f\circ f\circ f =f$. Montrer que $f$ est injective si, et seulement si, $f$ est surjective.

Soit $X,Y$ des ensembles et $f:X\rightarrow Y$, $g : Y \rightarrow X$ des applications telles que $f\circ g \circ f$ est bijective.
Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives.

On considère la fonction $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $x \in \mathbb{R}$, par $f(x)=e^{2x}+4e^x+2$.

1. Déterminer l'image $\text{Im}(f)$ de la fonction $f$.
2. Montrer que $f$ est bijective de $\mathbb{R}$ sur son image et déterminer sa fonction réciproque.

On considère la fonction $f: \mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R}$ telle que pour $x \in \mathbb{R}_+^*$,\[ f(x)=\sin(\frac{\pi}{x}).\]Déterminer $f(]0,1])$ et $f^{-1}(\{0\})$.

Soit $X$ un ensemble et $A,B \subset X$. Déterminer, dans chacun des cas suivants, un ensemble $C \subset X$ tel que $1\!\!1_C=$

a) $\min(1\!\!1_A,1\!\!1_B)$; $\quad$ b) $\max(1\!\!1_A,1\!\!1_B)$; $\quad$c) $1\!\!1_A\times 1\!\!1_B$;

d) $1\!\!1_X-1\!\!1_A$; $\quad$ e) $1\!\!1_A+1\!\!1_B-1\!\!1_A\times 1\!\!1_B$; $\quad$f) $(1\!\!1_A- 1\!\!1_B)^2$.

On rappelle que $1\!\!1_A:x \mapsto\begin{cases}1\text{ si }x \in A \\0\text{ si }x \notin A\end{cases}$ est la fonction indicatrice de $A$.