Exercices de la catégorie Logique et ensembles
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Logique et ensembles : liste des exercices
Exercice #504
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $E$ un ensemble à $n$ éléments. Combien existe-t-il d'ordres totaux sur $E$ ?
Exercice #505
Énoncé
Soit $n,p \in \mathbb{N}$ et $E,F$ des ensembles de cardinaux respectifs $n$ et $p$. Combien y a-t-il d'injections de $E$ dans $F$ ?
Exercice #511
Énoncé
On appelle diagonale d’un polygone convexe un segment joignant deux de ses sommets non consécutifs. Quels sont les nombres de côtés possibles pour un polygone possédant autant de diagonales que de côtés ?
Exercice #513
Énoncé
Combien d’anagrammes possèdent les mots suivants (on comptera bien-sûr toutes les anagrammes, même celles qui sont dépourvues de sens !) :
ROBERT; COUCOU et LIPSCHITZIENNES
Exercice #510
Énoncé
Une puce se déplace par sauts de $1$cm sur les intersections d'une grille carrée plane et infinie dont chaque arête est de longueur $1$cm. Soit $m \in \mathbb{N}^*$.
- De combien de façons peut-elle effectuer $m$ bonds ?
- Déterminer le nombre de façons telles que la puce reviennent à son point de départ après $m$ bonds.
Exercice #512
Énoncé
Une sauterelle se trouve devant un escalier de $n$ marches où $n$ est un entier plus grand ou égal à $3$.
Son but est de monter sur la dernière marche de l'escalier et elle ne peut monter qu'une ou deux marches à chacun de ses sauts (et elle ne redescend jamais !).
Combien de possibilités, en fonction de $n$, la sauterelle a-t-elle d'atteindre son but ?
Son but est de monter sur la dernière marche de l'escalier et elle ne peut monter qu'une ou deux marches à chacun de ses sauts (et elle ne redescend jamais !).
Combien de possibilités, en fonction de $n$, la sauterelle a-t-elle d'atteindre son but ?
Exercice #509
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère un cercle et on place $n$ points distincts non régulièrement espacés sur ce cercle de telle façon que lorsqu'on relie ces $n$ points entre eux par des segments, il n'y a pas d'intersection commune entre $3$ de ces segments à l'intérieur du disque inclus dans le cercle.
Une fois tous les points reliés les uns aux autres par des segments, en combien de parties le disque délimité par le cercle est-il divisé ?
Une fois tous les points reliés les uns aux autres par des segments, en combien de parties le disque délimité par le cercle est-il divisé ?
Exercice #75
Énoncé
Soit $X$ un ensemble et $A,B$ des parties de $X$. Montrer que :\[
A\subset B \Leftrightarrow A\cup B = B.
\]
Exercice #67 Principe des tiroirs
Détails de l'exercice #67
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
En Mathématiques : Bac+1.
Mots clés associés :
raisonnement par l'absurde
raisonnement par l'absurde
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère $n$ tiroirs et $n+1$ paires de chaussettes. On range toutes les paires de chaussettes dans les tiroirs. Montrer qu'il existe un tiroir contenant au moins deux paires de chaussettes.
Indications
Raisonner par l'absurde en supposant que tous les tiroirs contiennent au plus une paire de chaussette.
Correction
On suppose par l'absurde que tous les tiroirs contiennent au plus une paire de chaussette. On numérote de $1$ à $n$ les tiroirs, on note $c_i$ le nombre de paires dans le tiroir $i \in \;[\!\!\![\; 1, n\;]\!\!\!]\;$. Alors, par hypothèse, $c_i \leqslant 1$ et le nombre de paires de chaussettes vérifie donc :\[
n+1 = \sum_{i=1}^n c_i \leqslant \sum_{i=1}^n 1 = n
\]Contradiction !
Ainsi, il existe un tiroir contenant au moins deux paires de chaussettes.
Ainsi, il existe un tiroir contenant au moins deux paires de chaussettes.
Exercice #66
Détails de l'exercice #66
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
En Mathématiques : Bac+1.
Mots clés associés :
raisonnement par l'absurde
raisonnement par l'absurde
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
Indications
Raisonner par l'absurde puis obtenir une contradiction avec le fait que $\sqrt{2}$ est un irrationnel.
Correction
On suppose par l'absurde que $2n^2$ est le carré d'un entier. Alors il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $2n^2=m^2$. Comme $n \neq 0$, on a alors :\[
2=\frac{m^2}{n^2}\text{ et ainsi }\sqrt{2}=\frac{m}{n}.
\]Or, $n,m$ sont des entiers, donc $\sqrt{2}$ est un rationnel.
Contradiction car $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Par suite, $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
Contradiction car $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Par suite, $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
Exercice #104
Énoncé
On considère la relation binaire $\mathcal{R}$ sur $\mathbb{R}^*$ définie, pour $x,y \in \mathbb{R}^*$, par :\[
x\;\mathcal{R}\;y \text{ si, et seulement si, }\frac{x}{y}=\frac{y}{x}.
\]
- Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb{R}^*$.
- Pour $x \in \mathbb{R}^*$, déterminer la classe d'équivalence de $x$.
Exercice #107
Énoncé
Soit $X$ un ensemble muni d'une relation d'ordre.On suppose que toute partie non vide de $X$ admet un plus petit et un plus grand élément. Montrer que $X$ est fini.
Exercice #125
Énoncé
Soit $X,Y,Z$ des ensembles et $f:X \rightarrow Y$, $f:Y \rightarrow Z$ des applications.
- Montrer que si $g\circ f$ est injective, alors $f$ est injective.
- Montrer que si $g\circ f$ est surjective, alors $f$ est surjective.
Exercice #117
Énoncé
Soit $X$ un ensemble et $f:X\rightarrow X$ une application telle que $f\circ f\circ f =f$. Montrer que $f$ est injective si, et seulement si, $f$ est surjective.
Exercice #118
Énoncé
Soit $X,Y$ des ensembles et $f:X\rightarrow Y$, $g : Y \rightarrow X$ des applications telles que $f\circ g \circ f$ est bijective.
Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives.
Montrer que $f$ et $g$ sont bijectives.
Exercice #121
Énoncé
On considère la fonction $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $x \in \mathbb{R}$, par $f(x)=e^{2x}+4e^x+2$.
- Déterminer l'image $\text{Im}(f)$ de la fonction $f$.
- Montrer que $f$ est bijective de $\mathbb{R}$ sur son image et déterminer sa fonction réciproque.
Exercice #123
Énoncé
On considère la fonction $f: \mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R}$ telle que pour $x \in \mathbb{R}_+^*$,\[
f(x)=\sin(\frac{\pi}{x}).
\]Déterminer $f(]0,1])$ et $f^{-1}(\{0\})$.
Exercice #122
Énoncé
Soit $X$ un ensemble et $A,B \subset X$. Déterminer, dans chacun des cas suivants, un ensemble $C \subset X$ tel que $1\!\!1_C=$
a) $\min(1\!\!1_A,1\!\!1_B)$; $\quad$ b) $\max(1\!\!1_A,1\!\!1_B)$; $\quad$c) $1\!\!1_A\times 1\!\!1_B$;
d) $1\!\!1_X-1\!\!1_A$; $\quad$ e) $1\!\!1_A+1\!\!1_B-1\!\!1_A\times 1\!\!1_B$; $\quad$f) $(1\!\!1_A- 1\!\!1_B)^2$.
On rappelle que $1\!\!1_A:x \mapsto\begin{cases} 1\text{ si }x \in A \\ 0\text{ si }x \notin A \end{cases}$ est la fonction indicatrice de $A$.
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