On pose $A=\begin{pmatrix} 0_n & I_n & 0_n \\ 0_n & 0_n & I_n \\ 0_n & 0_n & 0_n \end{pmatrix}$

1. Calculer le polynôme caractéristique, le polynôme minimal et le rang de $A$.
2. Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, montrer que $\text{dim}(\text{Ker}(u^2))\leqslant 2\text{dim}(\text{Ker}(u))$.
3. Soit $B \in \mathcal{M}_{3n}(\mathbb{R})$ telle que $B^3=0_{3n}$ et $\text{rg}(B) = 2n$.
   1. Montrer que $\text{Im}(B^2) \subset \text{Ker}(B)$.
   2. En déduire le rang de $B^2$.
   3. Soit $(X_1,\hdots , X_m)$ une base d'un supplémentaire de $\text{Ker}(B^2)$. Montrer que $(B^2X_1, \hdots , B^2X_m, BX_1, \hdots, BX_m, X_1, \hdots, X_m)$ est une famille libre.
   4. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.

Soit $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.

Soit $A=\begin{pmatrix} -6&4&4 \\ -4&2&4 \\ -4&4&2 \end{pmatrix}$. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.

Soit $A=\begin{pmatrix} -3&2&3 \\ 2&-2&2 \\ -7&6&3 \end{pmatrix}$. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 1&1&-1 \\ 2&0&-3 \\ -1&1&1 \end{pmatrix}$. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$ vue comme appartenant à $M_3(\mathbb{R})$ puis à $M_3(\mathbb{C})$.

Soit $A=\begin{pmatrix} -1+2i&1&1-2i \\ 2i&0&-1-2i \\ -1&1&1 \end{pmatrix}$. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.

On considère $E=\{u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \; | \; \lim u = 0\}$. On note $\varphi$ l'application définie, pour $u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in E$, par $\varphi(u)=(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où, pour $n \in \mathbb{N}$ :\[ v_n=u_{n+1}-u_n. \]

1. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.
2. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $\varphi$.

Soirt $E=C([0,1],\mathbb{R})$. On définie, pour $f \in E$, la fonction $\varphi(f):[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ par :\[ \varphi(f)(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{x}\int_0^x f(t)\text{d}t & \text{ si }x \in ]0,1] \\ \\ f(0)&\text{ sinon.} \end{cases} \]

1. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.
2. Déterminer les valeurs propres de $\varphi$.

Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $A_n=(a_{ij})_{1\leqslant i,j \leqslant n } \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice telle que, pour $i,j \in \;[\!\!\![\; 1,n\;]\!\!\!]\;$ :\[ a_{i,j}=\begin{cases} 1&\text{ si }i=j+1\text{ ou }j=i+1 \\ 0&\text{ sinon } \end{cases} \]et on note $\chi_n$ le polynôme caractéristique de $A_n$ i.e. $\chi_n(X)=\text{det}(XI_n-A_n)$.

1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que, pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, \[ \chi_{n+2}(\lambda)=\lambda \chi_{n+1}(\lambda)-\chi_n(\lambda) \]
2. On pose, pour $\theta \in ]0,\pi[$, $\lambda=2\cos(\theta)$. Montrer que \[ \chi_n(\lambda)=\frac{\sin\left((n+1)\theta\right)}{\sin(\theta)} \]
3. En déduire le spectre de $A_n$ puis que $A_n$ est diagonalisable.

Soit un entier $n \geqslant 2$ et $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ tel que $\text{rg}(f)=2$. Exprimer le polynôme caractéristique de $f$ en fonction de $\text{Tr}(f)$ et $\text{Tr}(f^2)$.

Soit $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 1&-1&3 \\ -2&2&3 \\ 2&1&0 \end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 4&-1&-3 \\ 1&2&-3 \\ -1&1&6 \end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ 6&-5&2 \\ -3&1&-4 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 3&-4&-5 \\ 6&-8&-6 \\ -7&8&5 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \\ 1&0&1 \\ 1&-1&0 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 4&1&0 \\ 0&2&-1 \\ 1&1&3 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.

Soit $a \in \mathbb{R}$ et $A=\begin{pmatrix} 1+a&1+a&1 \\ -a&-a&-1 \\ a&a-1&0 \end{pmatrix}$.

1. Pour quelles valeurs de $a$ la matrice $A$ est-elle trigonalisable ? diagonalisable ?
2. Effectuer la trigonalisation/diagonalisation selon les valeurs de $a$ déterminée à la question précédente.

Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$ et $x,y \in \mathbb{C}^*$ tels que $y\neq \pm x$. On considère la matrice : \[ A=\begin{pmatrix} x & y& x& \dots &y &x &y \\ y & x&y & \dots & x& y&x \\ x & y&x & \dots &y &x &y \\ \vdots&\vdots&\vdots& \ddots &\vdots&\vdots&\vdots \\ y & x& y& \dots &x &y &x \\ x & y&x & \dots &y &x &y \\ y & x&y & \dots &x &y &x \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C}). \]Montrer que $A$ est diagonalisable.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $E$ une espace vectoriel de dimension $n$ sur $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ de rang $1$. Montrer que $u$ est diagonalisable si, et seulement si, $\text{Tr}(u)\neq 0$.

Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$.

Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} 4&-1&-3 \\ 1&2&-3 \\ -1&1&6 \end{pmatrix}$.

Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ 6&-5&2 \\ -3&1&-4 \end{pmatrix}$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Déterminer toutes les matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que :\[ \begin{cases} \text{Tr}(A)=0 \\ A^3-6A^2+9A=0_n \end{cases} \]

Soit $A \in \mathcal{M}(\mathbb{K})$ telle que $A^2$ est diagonalisable.

1. Si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ et $A$ inversible; montrer que $A$ est diagonalisable.
2. Si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ et $A$ non inversible, $A$ est-elle diagonalisable ?
3. Si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ et $A$ inversible, $A$ est-elle diagonalisable ?

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de rang $1$. Montrer que $u$ est diagonalisable si, et seulement si, $\text{Im}(u) \not \subset \text{Ker}(u)$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $A,N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telles que $N$ est nilpotente et $A,N$ commutent. Montrer que :\[ \text{det}(A+N)=\text{det}(A) \]On pourra commencer par étudier le cas $A \in \text{GL}_n(\mathbb{K})$.