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Exercices de la catégorie Arithmétique dans Z
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Arithmétique dans Z : liste des exercices
Exercice #313
Exercice de base
Détails de l'exercice #313
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Déterminer le reste de la division euclidienne par $5$ de :\[ 2023^{2024} \]
Exercice #317
Exercice de base
Détails de l'exercice #317
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Résoudre le système d'inconnue $x\in \mathbb{Z}$ :\[ \begin{cases} x \;\equiv\; 1 \;[6] \\ x \;\equiv\; 4 \;[7] \end{cases} \]
Exercice #318
Exercice de base
Détails de l'exercice #318
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Résoudre le système d'inconnue $x\in \mathbb{Z}$ :\[ \begin{cases} 3x \;\equiv\; 2 \;[5] \\ 5x \;\equiv\; 1 \;[6] \end{cases} \]
Exercice #319
Exercice de base
Détails de l'exercice #319
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}$,\[ 13 \;|\; 5^{2k}\times 38 +12^k \]
Exercice #320
Exercice de base
Détails de l'exercice #320
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[ 6\;|\; n(8n+1)(13n+1) \]
Exercice #321
Exercice de base
Détails de l'exercice #321
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[ 13\;|\; 7^{2n}-23^n \]
Exercice #326
Exercice de base
Détails de l'exercice #326
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $x\in \mathbb{Z}$ :\[ 41x+2 \;\equiv\; 0 \;[152] \]
Exercice #327
Exercice de base
Détails de l'exercice #327
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Résoudre l'équation $x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }143$.
Correction
On a $143=11\times 13$ et $11$ est premier avec $13$ donc d'après le théorème chinois, $(*) \;x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }143$ si, et seulement si, $$(1)\; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }11 \quad \text{et} \quad (2)\; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }13$$ Donc si $x_1$ est une solution de $(1)$ et $x_2$ une solution de $(2)$, alors $x=x_1u+x_2v$ est solution de $(*)$ où $u,v \in \mathbb{Z}$ sont tels que $11u+13v=1$, et toutes les solutions sont de cette forme.

On a $$ (x+1)x=x^2+x \; \equiv \; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }11 $$ et $$ (x-1)(x+2)=x^2+x-2 \; \equiv \; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }13 $$ Donc les solutions de $(1)$ sont $x \; \equiv \; 0 \text{ mod }11$ et $x \; \equiv \; -1 \text{ mod }11$ et les solutions de $(2)$ sont $x \; \equiv \; 1 \text{ mod }13$ et $x \; \equiv \; -2 \text{ mod }13$.

Déterminons les coefficients $u$ et $v$ : on a $6\times 11-5\times 13=1$, d'où $u=6$ et $v=5$.

Ainsi, on a donc les solutions suivantes : $$ x \; \equiv \; 66 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; 11 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; -12 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; 76 \text{ mod }143 $$
Exercice #314
Exercice de base
Détails de l'exercice #314
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Résoudre le système d'inconnues $x,y$ dans $\mathbb{N}$ :\[ \begin{cases} x+y=100 \\ x\wedge y=10 \end{cases} \]
Exercice #323
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #323
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $n+1$ divise $\dbinom{2n}{n}$.
Exercice #324
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #324
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Soit $a \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $2a+1$ et $a^2+a$ sont premiers entre eux.
Exercice #322
Exercice de base
Détails de l'exercice #322
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. Montrer que si $2^n-1$ est premier, alors $n$ est premier.
Exercice #325
Exercice de base
Détails de l'exercice #325
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Déterminer toutes les couples $(x,y)$ dans $\mathbb{Z}^2$ solutions de l'équation :\[ 7x-11y = 5 \]
Exercice #315
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #315
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer qu'on peut trouver $n$ entiers consécutifs de telle sorte qu'aucun d'entre eux n'est premier.
Exercice #316
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #316
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Soit $p$ un nombre premier plus grand ou égal à $5$. Montrer que $24\;|\;p^2-1$.
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