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Exercices de la catégorie Groupes
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Groupes : liste des exercices
Classement : MathématiquesGroupes
Exercice #126
Exercice de base
Détails de l'exercice #126
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $(G,\cdot)$ un groupe fini de cardinal $2n$. On définit sur $G$ la relation binaire $\mathcal{R}$, pour $g,h \in G$, par :\[ g \,\mathcal{R} \,h \;\text{ si, et seulement si, }\;g=h \text{ ou }g^{-1}=h. \]
  1. Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence sur $G$.
  2. En déduire qu'il existe un élément d'ordre $2$ dans $G$.
Exercice #127
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #127
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe et $x,y \in G$ deux éléments qui commutent d'ordres finis respectifs $n$ et $m$. On suppose de plus que $n$ et $m$ sont premiers entre eux.
Déterminer l'ordre $o(g)$ de $g=xy$.
Exercice #128
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #128
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $(G, \cdot)$ un groupe, $n,m \in \mathbb{N}^*$ et $g \in G$ un élément d'ordre fini égal à $nm$.
Montrer que si $n$ et $m$ sont premiers entre eux alors il existe un unique couple $(x,y) \in G^2$ tel que $x,y$ commutent, sont d'ordres finis respectifs $n$, $m$ et $g=xy$.
Correction
On suppose $n \wedge m = 1$. D'après le théorème de Bézout, il existe $u,v \in \mathbb{Z}$ tels que $nu+mv=1$.
On remarque alors, à partir de cette relation et toujours d'après le théorème de Bézout (la réciproque cette fois), que $n \wedge v = 1$ et $m \wedge u = 1$.

Démontrons le résultat demandé :
  • Existence : On pose $x=g^{mv}$ et $y=g^{nu}$. Alors $x$ et $y$ commutent car des composées de $g$ et de son symétrique commutent entre elles et on a : \[ xy=g^{mv}g^{nu}=g^{mv+nu}=g. \] De plus, on a $x^n=(g^{mv})^n=(g^{nm})^v=e$ et $y^m=(g^{nu})^m=(g^{nm})^u=e$ car $g$ est d'ordre $nm$, donc $x$ et $y$ sont d'ordre finis disons respectivement $p$ et $q$.
    D'après ce qui précède, on a $p|n$ et $q|m$. Montrons que $n|p$ et $m|q$.
    On a : \[ g^{mvp}=x^p=e \] et $g$ d'ordre $nm$ donc $nm|mvp$ d'où $n|vp$. Or, d'après la remarque initiale, $n \wedge v = 1$, donc d'après le lemme de Gauss, $n|p$.
    Par un raisonnement analogue, on prouve $m|q$.
    Ainsi, $n,m,p,q$ étant positifs, on a $p=n$ et $m=q$.
    Ce qui démontre l'existence.
  • Unicité : Soit $(x,y), (z,t) \in G^2$ deux couples ayant les propriétés annoncées. Alors, comme $xy=g=zt$, on a $x^{-1}z=yt^{-1}$ et : \[ \begin{array}{rcl} x^{-1}z&=&(x^{-1}z)^{nu+mv} \\ &=&(x^{-1}z)^{nu}.(yt^{-1})^{mv} \\ &=&((x^n)^{-1}z^n)^u.(y^m(t^m)^{-1})^{v} \\ &=&(e.e)^u.(e.e)^v \\ x^{-1}z&=&e \end{array} \] D'où $e=x^{-1}z=yt^{-1}$ et donc $x=z$ et $y=t$.
    Ce qui prouve l'unicité.
Classement : MathématiquesGroupes
Exercice #574
Exercice de base
Détails de l'exercice #574
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
On considère la permutation $\sigma$ suivante de $\mathcal{S}_{11}$ : \[ \sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\ 3&4&7&11&9&10&1&6&5&2&8 \end{pmatrix} \]Déterminer :
  1. la décomposition de $\sigma$ en produit de cycle à supports disjoints;
  2. la signature de $\sigma$;
  3. l'ordre de $\sigma$ i.e. la plus petite puissance $k \in \mathbb{N}$ telle que $\sigma^k=\text{id}$;
  4. une décomposition de $\sigma$ en produit de transpositions.
Exercice #575
Exercice de base
Détails de l'exercice #575
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
On considère la permutation $\sigma$ suivante de $\mathcal{S}_{12}$ : \[ \sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ 5&6&10&7&1&12&9&4&11&8&3&2 \end{pmatrix} \]Déterminer :
  1. la décomposition de $\sigma$ en produit de cycle à supports disjoints;
  2. la signature de $\sigma$;
  3. l'ordre de $\sigma$ i.e. la plus petite puissance $k \in \mathbb{N}$ telle que $\sigma^k=\text{id}$;
  4. une décomposition de $\sigma$ en produit de transpositions.
Exercice #576
Exercice de base
Détails de l'exercice #576
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
On considère la permutation $\sigma$ suivante de $\mathcal{S}_{9}$ : \[ \sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 4&9&1&3&6&5&2&7&8 \end{pmatrix} \]Déterminer :
  1. la décomposition de $\sigma$ en produit de cycle à supports disjoints;
  2. la signature de $\sigma$;
  3. l'ordre de $\sigma$ i.e. la plus petite puissance $k \in \mathbb{N}$ telle que $\sigma^k=\text{id}$;
  4. une décomposition de $\sigma$ en produit de transpositions.
Classement : MathématiquesGroupes
Exercice #133
Exercice de base
Détails de l'exercice #133
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Montrer que $G=\{z \in \mathbb{C} \; | \; \exists\; n \in \mathbb{N}^*, z^n=1\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*,\times)$. Quel est son cardinal ? Justifier.
Exercice #129
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #129
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $I=]-1,1[$. On munit $I$ d'une loi $*$ définie, pour tous $x,y \in I$,par $x*y=\frac{x+y}{1+xy}$.
  1. Montrer que, pour tous $x,y \in I$, $x*y$ est bien défini. Puis montrer que $*$ est une loi de composition interne sur $I$.
  2. Montrer que $(I,*)$ est un groupe commutatif. $[0,1[$ est-il un sous-groupe de $I$ ?
  3. Soit $x> 0$. Montrer que $H_x=\{\frac{x^n-1}{x^n+1} \; | \; n \in \mathbb{Z}\}$ est un sous-groupe de $I$.

Exercice #130
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #130
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $(G,.)$ un groupe tel que pour tout $g \in G$, $g^2=e$. Montrer que $G$ est un groupe commutatif.
Classement : MathématiquesGroupes
Exercice #137
Exercice de base
Détails de l'exercice #137
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère $f:x \mapsto x^n$ et $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Montrer que $f$ est un morphisme de groupes de $(\mathbb{K}^*,\times)$ dans lui-même puis, en fonction de $\mathbb{K}$, déterminer son image et son noyau.
Exercice #381
Exercice de base
Détails de l'exercice #381
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $G$ un groupe. On condidère l'application $f:x \mapsto x^{-1}$ de $G$ dans $G$ où $x^{-1}$ désigne le symétrique de l'élement $x \in G$ pour la loi de composition interne de $G$.
  1. Montrer que $f$ est bijective.
  2. Montrer que $f$ est un morphisme si, et seulement si, $G$ est commutatif.
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