Déterminer, en fonction du réel $\alpha$, la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+ \sqrt{n}}{n^\alpha}.
\]Même question avec la série de terme général $(-1)^nu_n$.
On considère la série : \[
\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n+\sqrt{n}}
\]
Montrer que cette série est divergente et déterminer un équivalent simple (noté $v_n$ dans la suite) de sa somme partielle $S_n$.
Montrer qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que : \[
S_n-v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\alpha.
\] On rappelle que $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} -\ln(n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \gamma $ où $\gamma$ est la constante d'Euler.
Déterminer, en fonction du réel $\alpha$, la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+ \sqrt{n}}{n^\alpha}.
\]Même question avec la série de terme général $(-1)^nu_n$.
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ à valeurs réelles telle que $u_0> 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=1-e^{-u_n}$.
Étudier la nature de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et déterminer sa limite si elle existe.