On considère la matrice suivante :\[
A=\begin{pmatrix}
3&3 \\
0&3
\end{pmatrix}.
\]Montrer que $A$ est inversible puis calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{Z}$.
Trouver toutes les matrices colonnes $X \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ telle que $AX=2X$, où :\[
A=\begin{pmatrix}
0&-1&1 \\
-2&1&1 \\
-4&-2&4
\end{pmatrix}.
\]De même pour $AX=X$.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A,B,C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ des matrices non nulles telles que $ABC=O_n$. Montrer qu'au moins deux matrices parmi $A,B,C$ ne sont pas inversibles.
Soit $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$ et $\mathcal{B}'=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ la famille de vecteurs de $\mathbb{R}^3$ définie par :\[
\varepsilon_1=e_1+e_2-2e_3\,; \quad \varepsilon_2=e_1-2e_3\,; \quad \varepsilon_3=e_1-e_2\,.
\]
Montrer que $\mathcal{B}'$ est une base de $\mathbb{R}^3$.
Déterminer la matrice $P$ de passage de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ puis la matrice $Q$ de passage de $\mathcal{B}'$ vers $\mathcal{B}$.