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Exercices de la catégorie Anneaux
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Anneaux : liste des exercices
Classement : MathématiquesAnneaux
Classement : MathématiquesAnneauxIdéaux
Exercice #142
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #142
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A$ un anneau commutatif. On note :\[ N=\{x \in A \; | \; \exists \,n \in \mathbb{N}^*, \; x^n=0_A \}. \]Montrer que $N$ est un idéal de $A$.
Exercice #144 Radical d'un idéal
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #144
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de $A$. On note :\[ \sqrt{I}=\{x \in A \; | \; \exists \,n \in \mathbb{N}^*, \; x^n \in I \}. \]
  1. Montrer que $\sqrt{I}$ est un idéal de $A$.
  2. Déterminer $\sqrt{169\mathbb{Z}}$ et $\sqrt{256\mathbb{Z}}$ dans l'anneau $\mathbb{Z}$.
  3. Montrer que $\sqrt{\sqrt{I}} = \sqrt{I}$.
  4. Soit $J$ un idéal de $A$. Montrer que : \[ \sqrt{I\cap J}=\sqrt{I} \cap \sqrt{J} \text{ et } \sqrt{I}+\sqrt{J} \subset \sqrt{I+J}. \] Trouver un exemple dans $\mathbb{Z}[X]$ qui montre que, pour le dernier point, l'inclusion réciproque est fausse en général.

Exercice #179
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #179
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère l'ensemble :\[ A=\{x \in \mathbb{Q} \; | \; \exists\, a \in \mathbb{Z},\; \exists\, b \in 2\mathbb{Z}+1, \; x=\frac{a}{b}\}. \]Montrer que $A$ est un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ puis montrer que $A$ est principal.
Exercice #180
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #180
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère l'anneau $\mathbb{Z}[X]$ et $n \in \mathbb{N}$ avec $n\geqslant 2$. Montrer que l'idéal $I=X\mathbb{Z}[X]+n\mathbb{Z}[X]$ n'est pas principal.
Exercice #181
Difficulté de niveau 3
Détails de l'exercice #181
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $A$ un anneau intègre. Montrer que $A[X]$ est principal si, et seulement si, $A$ est un corps.
Classement : MathématiquesAnneaux
Exercice #135
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #135
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
On note $\mathbb{Z}[i]=\{a+ib \; | \; a,b \in \mathbb{Z}\}$.
  1. Montrer que $\mathbb{Z}[i]$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$.
  2. Déterminer le groupe des inversibles de $\mathbb{Z}[i]$.
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