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Exercice #629 Oral CCinP

Détails de l'exercice #629

Exercice enregistré par M. Arnt

Matière : Mathématiques

Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2, Bac+3 et plus.

Catégories :
En Mathématiques :
Analyse ⇐ Suites, séries ⇐ Séries numériques ⇐ Étude théorique de la nature d'une série numérique
Analyse ⇐ Suites, séries ⇐ Séries numériques ⇐ Sommation des relations de comparaison

Mots clés associés :
2025 CCinP Oral sommation des relation de comparaison

Source : BEOS 8719

Énoncé

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite à valeurs réelles. On pose, pour $n \in \mathbb{N}^*$ :\[ S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n a^2_k. \]On suppose que $a_n \times S_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 1$.

En raisonnant par l'absurde, montrer que $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge, puis en déduire que $a_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 0$.
Déterminer la limite de $\displaystyle\int_{S_{n-1}}^{S_n} t^2\text{d}t$.

Indications

Pour $a_n \rightarrow 0$, penser à déterminer la limite des $S_n$.
Que vaut $x^3-y^3$ d'après une formule connue ?
Utiliser la relation de Chasles puis la technique de sommation des relations de comparaison.

Correction

Supposons par l'absurde que $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge, vers disons $\ell \in \mathbb{R}$. La suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est la suite des sommes partielles de la série à termes $\sum a_n^2$, donc cette série converge (et est de somme $\ell$), donc son terme général tend vers $0$ i.e. $a_n^2 \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0$. Par suite $a_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0$.
On a alors : \[ a_n \times S_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 0 \times \ell \neq 1. \] Contradiction par unicité de la limite !
Il en résulte que $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge.

De plus, la série $\sum a_n^2$ est à termes positifs et divergente d'après ce qui précède, donc la suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de ses sommes partielles tend vers $+\infty$ (on rappelle succinctement pourquoi : comme $\sum a_n^2$ est à termes positifs, $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante et divergente, donc sa limite est $+\infty$ d'après le théorème de la limite monotone).
Par hypothèse, la suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est non nulle à partie d'un certain rang et, donc, toujours d'après l'hypothèse et du fait que $S_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$, on a : \[ a_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}\frac{1}{S_n}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0. \]
Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$. On a : \[ \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{S_{n-1}}^{S_n} t^2\text{d}t &=&\displaystyle \left[\frac{t^3}{3}\right]_{S_{n-1}}^{S_n} \\ &=&\displaystyle \frac{1}{3}(S_n^3-S_{n-1}^3) \\ &=&\displaystyle \frac{1}{3}(S_n-S_{n-1})(S_n^2+S_nS_{n-1}+S_{n_1}^2) \\ \displaystyle \int_{S_{n-1}}^{S_n} t^2\text{d}t&=&\displaystyle \frac{1}{3} \left((a_nS_n)^2+(a_nS_n)(a_nS_{n-1})+(a_nS_{n-1})^2 \right). \end{array} \] Or, on a, d'après l'hypothèse et le fait que $a_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0$ : \[ a_nS_{n-1} = a_n(S_n-a_n) = a_nS_n - a_n^2 \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1-0 = 1, \] donc : \[ \int_{S_{n-1}}^{S_n} t^2\text{d}t = \frac{1}{3} \left((a_nS_n)^2+(a_nS_n)(a_nS_{n-1})+(a_nS_{n-1})^2 \right)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \frac{1}{3}(1+1+1) = 1. \]
Pour $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$, on pose $\displaystyle b_n = \int_{S_{n-1}}^{S_n} t^2\text{d}t$.
Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$. D'après la relation de Chasles, on a : \[ \frac{1}{3}(S_n^3-S_{1}^3)=\int_{S_{1}}^{S_n} t^2\text{d}t = \sum_{k=2}^{n-1} \int_{S_{k-1}}^{S_k} t^2\text{d}t =\sum_{k=2}^{n-1} b_k. \] D'après la question précédente, $b_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1$ donc la série $\sum b_n$ diverge (grossièrement) et ainsi, par sommation des relation de comparaison dans le cas divergent, on a : \[ \frac{1}{3}(S_n^3-S_{1}^3)=\sum_{k=2}^{n-1} b_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}\sum_{k=2}^{n-1} 1 = n-2 \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} n. \] De plus, comme $S_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$, $S_1^3$ est négligeable devant $S_n^3$, d'où : \[ \frac{S_n^3}{3}\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} n \] et donc : \[ S_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}\sqrt[3]{3n}. \] Comme $\displaystyle a_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}\frac{1}{S_n}$, il en résulte que : \[ a_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt[3]{3n}}. \]