On considère la série : \[
\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n+\sqrt{n}}
\]
Montrer que cette série est divergente et déterminer un équivalent simple (noté $v_n$ dans la suite) de sa somme partielle $S_n$.
Montrer qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que : \[
S_n-v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\alpha.
\] On rappelle que $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} -\ln(n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \gamma $ où $\gamma$ est la constante d'Euler.
Montrer que la série $\displaystyle \sum \frac{1}{\ln(1+4^{-n})}$ diverge puis déterminer un équivalent simple de sa somme partielle $S_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Montrer que la série $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \frac{\ln(n)}{n!}$ converge puis déterminer un équivalent simple de son reste $R_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : \[
\begin{cases}
u_0=1 &\\
u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}&\textrm{ pour }n\in\mathbb{N}
\end{cases}
\]
Montrer que la suite est bien définie puis après avoir justifié son existence, déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers l'infini.
Montrer que la série $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{4^n}{n}$ diverge puis déterminer un équivalent simple de sa somme partielle $S_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.