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Exercices de la catégorie Sommation des relations de comparaison
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Sommation des relations de comparaison : liste des exercices
Exercice #334
Exercice de base
Détails de l'exercice #334
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère la série : \[ \sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n+\sqrt{n}} \]
  1. Montrer que cette série est divergente et déterminer un équivalent simple (noté $v_n$ dans la suite) de sa somme partielle $S_n$.
  2. Montrer qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que : \[ S_n-v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\alpha. \] On rappelle que $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} -\ln(n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \gamma $ où $\gamma$ est la constante d'Euler.
Exercice #595
Exercice de base
Détails de l'exercice #595
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum \frac{1}{\ln(1+4^{-n})}$ diverge puis déterminer un équivalent simple de sa somme partielle $S_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #598
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #598
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \frac{\ln(n)}{n!}$ converge puis déterminer un équivalent simple de son reste $R_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #596
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #596
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : \[ \begin{cases} u_0=1 &\\ u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}&\textrm{ pour }n\in\mathbb{N} \end{cases} \]
  1. Montrer que la suite est bien définie puis après avoir justifié son existence, déterminer sa limite.
  2. Déterminer un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers l'infini.

Exercice #597
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #597
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{4^n}{n}$ diverge puis déterminer un équivalent simple de sa somme partielle $S_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
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