On suppose par l'absurde que $2n^2$ est le carré d'un entier. Alors il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $2n^2=m^2$. Comme $n \neq 0$, on a alors :\[ 2=\frac{m^2}{n^2}\text{ et ainsi }\sqrt{2}=\frac{m}{n}. \]Or, $n,m$ sont des entiers, donc $\sqrt{2}$ est un rationnel.
Contradiction car $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Par suite, $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.

On suppose par l'absurde que tous les tiroirs contiennent au plus une paire de chaussette. On numérote de $1$ à $n$ les tiroirs, on note $c_i$ le nombre de paires dans le tiroir $i \in \;[\!\!\![\; 1, n\;]\!\!\!]\;$. Alors, par hypothèse, $c_i \leqslant 1$ et le nombre de paires de chaussettes vérifie donc :\[ n+1 = \sum_{i=1}^n c_i \leqslant \sum_{i=1}^n 1 = n \]Contradiction !
Ainsi, il existe un tiroir contenant au moins deux paires de chaussettes.