Soit $N\in \mathbb{N}$ et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\;[\!\!\![\; 0,N\;]\!\!\!]\;$. Montrer que :\[ E(X)=\sum_{n=0}^{N-1}P(X> n). \]

On lance deux dés équilibrés à six faces et obtient deux nombres entre $1$ et $6$. On note $X$ leur somme, $Y$ leur maximum et $Z$ leur minimum.

1. Déterminer les lois de $X$ et de $Y$.
2. Calculer leurs espérances respectives.
3. En déduire l'espérance de $Z$.

Soit $X,Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans des ensembles finis. Montrer que si, pour tout $k \in \mathbb{N}$, $E(X^k)=E(Y^k)$ alors $X$ et $Y$ suivent les mêmes lois.

Soit $X,Y$ des variables aléatoires à valeurs dans un ensemble fini. On pose $S=X+Y$ et $D=X-Y$. Déterminer la covariance $\text{cov}(S,D)$ entre $S$ et $D$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $p \in ]0,1[$. Si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, quelle est la loi de la variable aléatoire $Y=n-X$ ?

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur $\;[\!\!\![\; 1,36\;]\!\!\!]\;$. Déterminer la loi de $\displaystyle Y=\left\lfloor \sqrt{X}\right\rfloor$.

On lance deux dés équilibrés à six faces et obtient deux nombres entre $1$ et $6$. On note $X$ leur somme, $Y$ leur maximum et $Z$ leur minimum.

1. Déterminer les lois de $X$ et de $Y$.
2. Calculer leurs espérances respectives.
3. En déduire l'espérance de $Z$.

Soit $Z=(X,Y)$ un couple de variables aléatoires dont la loi est la suivante :\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline z &(0,0)&(0,1)&(0,2)&(1,0)&(1,1)&(1,2) \\ \hline P(Z=z)&1/8 &1/8 & 1/6 &1/6 & 1/4 & 1/6 \\ \hline \end{array} \]

1. Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi conjointe puis déterminer les ensembles dans lesquels $X$ et $Y$ prennent (presque sûrement) leurs valeurs.
2. Déterminer les probabilités $P(X=Y)$, $P(X> Y)$ et $P(X< Y)$.
3. Déterminer les lois marginales de $X$ et $Y$.
4. Déterminer les lois de $X+Y$ et $\max(X,Y)$.