Soit $N\in \mathbb{N}$ et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\;[\!\!\![\; 0,N\;]\!\!\!]\;$. Montrer que :\[ E(X)=\sum_{n=0}^{N-1}P(X> n). \]

On lance deux dés équilibrés à six faces et obtient deux nombres entre $1$ et $6$. On note $X$ leur somme, $Y$ leur maximum et $Z$ leur minimum.

1. Déterminer les lois de $X$ et de $Y$.
2. Calculer leurs espérances respectives.
3. En déduire l'espérance de $Z$.

Soit $X,Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans des ensembles finis. Montrer que si, pour tout $k \in \mathbb{N}$, $E(X^k)=E(Y^k)$ alors $X$ et $Y$ suivent les mêmes lois.

Soit $X,Y$ des variables aléatoires à valeurs dans un ensemble fini. On pose $S=X+Y$ et $D=X-Y$. Déterminer la covariance $\text{cov}(S,D)$ entre $S$ et $D$.