Soit $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$ et $\mathcal{B}'=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ la famille de vecteurs de $\mathbb{R}^3$ définie par :\[ \varepsilon_1=e_1+e_2-2e_3\,; \quad \varepsilon_2=e_1-2e_3\,; \quad \varepsilon_3=e_1-e_2\,. \]

1. Montrer que $\mathcal{B}'$ est une base de $\mathbb{R}^3$.
2. Déterminer la matrice $P$ de passage de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ puis la matrice $Q$ de passage de $\mathcal{B}'$ vers $\mathcal{B}$.