Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$ et $a,b \in \mathbb{C}$. Calculer le déterminant de taille $n \times n$ suivant : \[ \begin{vmatrix} a &b &\hdots&\hdots&b \\ b &a &\ddots& &\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots \\ \vdots& &\ddots&a &b \\ b &\hdots&\hdots&b &a \end{vmatrix} \]

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{C}$. On considère le déterminant de taille $(n+1) \times (n+1)$ suivant : \[ \Delta_n(x)=\begin{vmatrix} 1 &1 &\hdots&\hdots &1 \\ 1 &1-x &\ddots& &\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots &\vdots \\ \vdots& &\ddots&(n-1)-x&1 \\ 1 &\hdots&\hdots&1 &n-x \end{vmatrix} \]Calculer $\Delta_n(x)$ de deux manières différentes : l'une en utilisant des opérations sur les lignes et/ou colonnes; l'autre en étudiant les zéros de la fonction $x \mapsto \Delta_n(x)$.