Exercices par chapitres de l'enseignement de Mathématiques MP du Lycée Sainte Croix-Saint Euverte
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Liste des Chapitres
Fonctions convexes (1 exercice)
Une inégalité de convexité
Énoncé
Montrer que pour tous $x,y,a,b \in \mathbb{R}_+^*$, on a l'inégalité suivante :
\[
(x+y)\ln\left(\frac{x+y}{a+b}\right)\leqslant x\ln\left(\frac{x}{a}\right)+y\ln\left(\frac{y}{b}\right)
\]
Indications
On pourra considérer la fonction $x\mapsto x\ln(x)$ puis faire l'analyse de chaque membre de l'inégalité en s'aidant de cette fonction.
Correction
On considère la fonction $f:x \mapsto x\ln(x)$ définie sur les réels strictement positifs.
On vérifie que pour tout $x>0$, $f''(x)=\frac{1}{x}>0$, donc la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}_+^*$.
Le membre de droite de l'inégalité demandée s'écrit : \[ a f\left(\frac{x}{a}\right)+b f\left(\frac{y}{b}\right) \] On a alors l'idée de considérer $a$ et $b$ comme des "poids" que l'on "normalise" pour pouvoir utiliser la convexité de $f$; ainsi on pose $t=\frac{a}{a+b} \in [0,1]$ (on a $1-t=\frac{b}{a+b}$), $u=\frac{x}{a}$, $v=\frac{x}{a}$ puis on applique la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}_+^*$ : \[ tf(u)+(1-t)f(v)\geqslant f(tu+(1-t)v)=f\left(\frac{x+y}{a+b}\right) \] d'où le résultat multipliant cette inégalité par $a+b$.
On vérifie que pour tout $x>0$, $f''(x)=\frac{1}{x}>0$, donc la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}_+^*$.
Le membre de droite de l'inégalité demandée s'écrit : \[ a f\left(\frac{x}{a}\right)+b f\left(\frac{y}{b}\right) \] On a alors l'idée de considérer $a$ et $b$ comme des "poids" que l'on "normalise" pour pouvoir utiliser la convexité de $f$; ainsi on pose $t=\frac{a}{a+b} \in [0,1]$ (on a $1-t=\frac{b}{a+b}$), $u=\frac{x}{a}$, $v=\frac{x}{a}$ puis on applique la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}_+^*$ : \[ tf(u)+(1-t)f(v)\geqslant f(tu+(1-t)v)=f\left(\frac{x+y}{a+b}\right) \] d'où le résultat multipliant cette inégalité par $a+b$.
Structures algébriques usuelles (1 exercice)
Caractérisation des sous-groupes engendrés
Énoncé
Soit $G$ un groupe et $A \subset G$. On note
\[
\langle A \rangle = \bigcap_{H \in \mathcal{H}_A}H \quad\text{ où }\mathcal{H}_A=\{H \text{ sous-groupe de }G\text{ contenant }A\}.
\]
et
\[
E(A)=\left\lbrace a_1...a_n \; | \; n \in \mathbb{N}^*,\; a_1,...,a_n \in A\cup A^{-1}\cup\{e\}\right\rbrace.
\]
- Montrer que $\langle A \rangle$ est le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $A$.
Remarque : $\langle A \rangle$ est appelé le sous-groupe engendré par $A$. -
- Montrer que $A \subset E(A)$.
- Montrer que $E(A)$ est un sous-groupe de $G$.
- En déduire que $\langle A \rangle \subset E(A)$.
- Montrer que $A \subset E(A)$.
-
- Soit $x \in E(A)$. Montrer que pour tout sous-groupe $H$ de $G$ contenant $A$, $x \in H$.
\item[b)] En déduire que $E(A)\subset \langle A \rangle$.
\end{itemiz
- Soit $x \in E(A)$. Montrer que pour tout sous-groupe $H$ de $G$ contenant $A$, $x \in H$.
Indications
- Utiliser la définition d'une intersection.
-
-
-
- $\langle A \rangle$ est le plus petit sous-groupe contenant $A$.
-
-
-
Correction
-
\item Montrons tout d'abord que $A$ est un sous-groupe de $G$. Comme pour tout $H\in \mathcal{H}_A$, $H$ est un sous-groupe de $G$, il contient l'élément neutre $e$. Donc $e \in \bigcap_{H \in \mathcal{H}_A}H=\langle A \rangle$.
Soit $x,y \in \langle A \rangle$. Montrons que $xy^{-1} \in \langle A \rangle$. Comme $x,y \in \bigcap_{H \in \mathcal{H}_A}H$, on a, pour tout $H \in \mathcal{H}_A$, $x,y \in H$ et $H$ est un sous-groupe de $G$. Donc pour tout $H \in \mathcal{H}_A$, $xy^{-1} \in H$. Ainsi, $xy^{-1} \in \bigcap_{H \in \mathcal{H}_A}H=\langle A \rangle$.
Par suite, $\langle A \rangle$ est un sous-groupe de $G$.
De plus, pour tout $H \in \mathcal{H}_A$, $A \subset H$ donc $A \subset \bigcap_{H \in \mathcal{H}_A}H=\langle A \rangle$.
Il en résulte que $\langle A \rangle$ est un sous-groupe contenant $A$, et c'est le plus petit d'entre eux (au sens de l'inclusion) car pour tout $K \in \mathcal{H}_A$, on a \[ \langle A \rangle =\bigcap_{H \i
Réduction des endomorphismes et des matrices carrées (1 exercice)
Déterminant et trace d'une matrice
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $M \in M_n(\mathbb{R})$ telle que $M^3-M^2+M=I_n$. Déterminer le déterminant de $M$ et montrer que sa trace est un entier naturel inférieur ou égal à $n$.
Indications
1. Déterminer un polynôme annulateur de $M$ puis le factoriser dans $\mathbb{C}$.
2. Si une matrice est diagonalisable (ou trigonalisable), on a des formules reliant son déterminant et sa trace en fonction de ses valeurs propres.
2. Si une matrice est diagonalisable (ou trigonalisable), on a des formules reliant son déterminant et sa trace en fonction de ses valeurs propres.
Correction
On remarque que $P=X^3-X^2+X-1=(X-1)(X-i)(X+i)$ est un polynôme annulateur scindé à racines simples de $M$. Par suite, $M$ est diagonalisable dans $\mathbb{C}$ avec $\text{Sp}_{\mathbb{C}}(M)\subset \{1,i,-i\}$ et ainsi, on a :
\[
\text{det}(M)=1^{m(1)}\times i^{m(i)} \times (-i)^{m(-i)} \text{ et }\text{tr}(M)=m(1)+ m(i)i - m(-i)i
\]
où, si $\lambda$ n'est pas valeur propre de $M$, $m(\lambda)=0$ et si $\lambda$ est valeur propre de $M$, $m(\lambda)$ désigne sa multiplicité.
De plus, $M$ étant à coefficients dans $\mathbb{R}$, ses valeurs propres non réelles conjuguées (potentielles) $i$ et $-i$ ont la même multiplicité i.e. $m(i)=m(-i)$. Ainsi : \[ \text{det}(M)=(i\times (-i))^{m(i)}=1^{m(i)}=1 \text{ et }\text{tr}(M)=m(1)+ m(i)(i-i)=m(1) \in \;[\!\!\![\; 0,n \;]\!\!\!]\; \]
De plus, $M$ étant à coefficients dans $\mathbb{R}$, ses valeurs propres non réelles conjuguées (potentielles) $i$ et $-i$ ont la même multiplicité i.e. $m(i)=m(-i)$. Ainsi : \[ \text{det}(M)=(i\times (-i))^{m(i)}=1^{m(i)}=1 \text{ et }\text{tr}(M)=m(1)+ m(i)(i-i)=m(1) \in \;[\!\!\![\; 0,n \;]\!\!\!]\; \]
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